Тождественные преобразования

Тождественные преобразования представляют собой одну из главных линий школьного курса математики. На их основе формируются представления об аналитических методах математики. Как правило, решение каждой математической за­дачи аналитическим методом предполагает выполнение некоторых тождественных преобразований.

Тождественные преобразования не являются какой-либо отдельной темой школьного курса математики, они изучаются на протяжении всего курса арифметики, алгебры и начал анализа. Без них не обходятся и на уроках геометрии.

Изучение темы имеет как самостоятельное, так и прикладное значение. Материал линии связан

- с обобщением операций над числами;

- проведением вычислений в общем виде;

- обучением использования буквенной символики в математике и ее приложениях.

Существует два подхода к изучению линии тождеств: алгебраический и функциональный.

Алгебраический подход. Больше внимания уделяется букве и операциям над буквенными выражениями. На выражение смотрят формально, не задумываясь над тем, что скрывается под буквами. Все преобразования опираются на правила действий и свойства действий.

Функциональный подход. Входящие в выражения буквы понимаются как переменные, а тождественные преобразования опираются на условие равенства функций (равенство значений функций при всех допустимых значениях переменной).

Понятие о тождественных преобразованиях закладывается в сознание ученика уже в 5 классе, хотя, согласно программе, термины «тождество» и «тождест­венное преобразование» еще не введены. В 5-м классе даются задания, в которых рассматриваются некоторые преобразования числовых выражений и выражений, содержащих переменные; тождественные преобразования, выполняемые на ос­нове свойств арифметических действий. Учащиеся знакомятся с первыми основ­ными тождествами (например, ab = ba, a(b+c) = ab + ас и др.), а затем применяют их при решении следующих видов упражнений:

1.Найти значение выражения: 977*43+43*23 = 43*(977+23)

2. При каких значениях переменной истинны равенства:

3(х+5) = Зх +15; (7+х)5 = 7*5+х*5?

3.Выполнить действия 129*70 = (130-1)*70 = 9100 - 70

4.Сократить дробь 9/129 = 9/3*43 = 3/43.

Используя такого рода упражнения, мы не просто подготавливаем учащихся к введению понятия тождественного преобразования, но и готовим их к осознанию целесо­образности тех или иных преобразований.

В 6-м классе дается понятие коэффициента, учащиеся знакомятся с выраже­ниями вида: 2а, -ab, -Заb, то есть фактически постигают понятие одночлена, хотя термин «одночлен» не вводится. Приведение подобных слагаемых рассматривается как пример применения распределительного свойства к сумме произведений с одинаковыми буквенными множителями: За + 4b + 2а = а(3+2) + 4b = 5а + 4b.

Первое определение тождества дается в 7-м классе.

Определение Равенство, верное при любых значениях переменной, называется тождеством.

Данное определение компактно и хорошо, когда учащиеся работают с целыми рациональными выражениями. Так равенства вида а2 /а = а или не подходят под это определение, поэтому его необходимо уточ­нить, и в 8-м классе в теме «Рациональные дроби» дается уже другое определение: Равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него пе­ременных.

Наиболее общим является следующее определение: Равенство, верное при любых значе­ниях переменных, принадлежащих некоторому множеству , называется тождест­вом на этом множестве.

Данное определение раскрывает суть тождества с теоретико-функциональной точки зрения.

Например, (а+в)2 = а2+2ав+в2 - тождество на R;

- тождество на R+;

- тождество при х0

Некоторые тождества выбираются как основные, с их помощью доказыва­ются остальные тождества и рассматриваются свойства операций, ис­тинность которых принимается в качестве аксиом (коммутативность, ассоциа­тивность, дистрибутивность, существование противоположного элемента и др.)

Различают понятия:

Тождества-равенства (формулы сокращенного умножения, свойства степени с натуральным показателем и др.)

Тождества-действия (вынесение общего множителя за скобку, приведение подобных слагаемых и др.) или тождественные преобразования.

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием.

К тождественным преобразованиям можно отнести, например, приведение подобных слагаемых, разложение на множители, сокращение дробей и так далее.