Сложная функция. Производная сложной функции
Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.
Обозначается это таким образом: f(g(x)). Имеем, что функция g(x) считается аргументом f(g(x)).
Если есть функция f и является функцией котангенса, тогда g(x) = lnx – это функция натурального логарифма. Получаем, что сложная функция f(g(x)) запишется как arctg(lnx). Или функция f, являющаяся функцией возведенной в 4 степень, где g(x)=x2+2x−3 считается целой рациональной функцией, получаем, что f(g(x))=(x2+2x−3) 4.
В результате получим, ясное дело, cosx.
Что получится в итоге? Косинус икса в кубе.
Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» подряд и получается как бы «функция от функции»
В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре:
Внутренняя и внешняя функции
Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.
И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция - это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.
Вот в этом примере: y=tg(log2x), функция log2x– внутренняя, а 
- внешняя.
А в этом: y=cos(x3+2x+1), x3+2x+1 - внутренняя, а 
- внешняя.
Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось - будем находить производные сложных функций:
Заполни пропуски в таблице:
Производная сложной функции
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)
Формула эта читается так:
Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.
И сразу смотри схему разбора "по словам" чтобы понимать, что к чему относится:
Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» - мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?
Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.
Пусть у нас есть функция y=sin(x3). Понятно, что внутренняя функция здесь x3, а внешняя 
. Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.
Из таблицы производных мы знаем, что производная синуса икс есть косинус икс: (sinx)′=cosx
Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет cos(x3). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.
Таким образом, на данный момент имеем:
Осталась «производная внутренней функции». Ну, это совсем легко – обычная производная от внутренней функции, при этом внешняя не влияет вообще никак. В нашем примере, производная от x3.
(x3)′=3x2
Все, теперь можем писать ответ:
