Основные понятия
Система счисления
- это способ записи чисел и правила действий над этими числами
Число
- это величина, а не символьная запись
Цифра
- набор символов, участвующих в записи числа
Алфавит
- совокупность различных цифр, используемых для записи числа
Позиционные
Непозиционные
значение цифры
не зависит
зависит
от ее позиции в числе
323
Три Три
сотни единицы
XIX
десять десять
Непозиционные системы счисления
- единичная
- древнеегипетская
- вавилонская
- римская
I,V,X,L,C,D,M
Единичная («палочная система»)
(период палеолита, 10-11 тысяч лет до н.э.)
Обозначение :
или
Древнеегипетская система
(ок.2850 до н.э.)
Обозначение :
- сотни
- десятки
- единицы
= 3 4 5
Вавилонская шестидесятеричная система (2 тысячи лет до н.э.)
Обозначение :
; … ; 60 n
; 60 3
; 60 2
- 60
- единицы
- десятки
= 60 +20+2 = 82
1-ый
разряд
2-ой
разряд
Римская система
(500 лет до н.э.)
В качестве цифр в римской системе используются:
M
I
V
X
L
C
D
50
1
5
10
100
1000
500
Величина числа суммируется из значений цифр. При этом применяется следующее правило:
Значение каждой меньшей цифры, поставленной слева от большей, вычитается из значения большей цифры. Если меньшая цифра стоит справа от большей, их значения складываются.
Найдите значения чисел:
D X L I I
= 542
X X X I I
Найдите значения чисел:
- МХ LV
- CDLI
- CXLIII
- DLIV
- MXLI
- CDLV
- CXLV
- DXLI
- XLIV
- DLV
- CLIV
- MCLV
Алфавитные системы
(500 лет до н.э.)
Алфавитной нумерацией пользовались южные и восточные славянские народы. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальные значок "~" ( «титло»).
Обозначение:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Позиционные системы счисления
Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит и основание.
– основание (p)
Количество цифр
системы счисления
Совокупность всех цифр
– алфавит
Позиционные системы могут иметь различный алфавит (2,3,4 знака).
10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы. Алфавиты систем счисления Основание р = 2 Название Алфавит Двоичная р = 3 р = 8 0 1 Троичная р = 16 0 1 2 Восьмеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 Шестнадцатеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F" width="640"
Для записи чисел в позиционной системе с основанием р нужно иметь алфавит из р цифр. При р 10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы.
Алфавиты систем счисления
Основание
р = 2
Название
Алфавит
Двоичная
р = 3
р = 8
0 1
Троичная
р = 16
0 1 2
Восьмеричная
0 1 2 3 4 5 6 7
Шестнадцатеричная
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
ПРИМЕРЫ : (перепиши, вставляя пропущенные числа)
- p = 10 ( десятичная с/c)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 и т.д.
- p = 4 ( четверичная с/c)
1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 __ __ __ __
3. p = 2 ( двоичная с/c)
1 10 11 100 101 110 111 1000 ___ 1010 1011 ____ ___ ___ ___ 10000 _____ _____
31 32 33 100
1001
1100
1101
1110
1111
10001
10010
Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа:
1) 341
2) 123
3) 222
4) 111
5) 431
6) 321
7) 444
8) 101
9) 143
10) 231
11) 333
12) 110
Ответ: а) 341 (р=5) в) 222 (р=3)
б) 123 (р=4) г) 111 (р=2)
Какое число ошибочно записано в:
а) троичной СС – 79, 212, 531
б) девятеричной СС – 419, 832, 4А
- а) троичной СС – 79, 212, 531 б) девятеричной СС – 419, 832, 4А
Ответ: а) в троичной СС для записи чисел используются цифры 0 1 2 , значит цифры 79 и 531 записаны неверно
б) в девятиричной СС для записи чисел используются цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8, значит цифры 419 и 4А записаны неверно
Десятичная система счисления
Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой .
Её основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - алфавит .
Рассмотрим десятичное число 555 :
Число записано в привычной для нас свернутой форме :
В зависимости от позиции цифра 5 обозначает единицы, десятки, сотни.
5 5 5 10
единицы
десятки
сотни
Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в десять раз больше правой.
В развернутой форме записи числа умножение цифр производится в явной форме:
Любое число в нулевой степени равно 1
555 10 = 5·10 2 + 5·10 1 + 5·10 0
Двоичная система счисления
Информация в компьютере представлена в двоичном коде. Используется двоичная система счисления.
Двоичная система счисления является позиционной системой счисления .
Алфавит двоичной системы – две цифры (0,1), основание равно 2.
Восьмеричная система счисления
Широко используется в информатике.
Восьмеричная система счисления является позиционной системой счисления .
Алфавит восьмеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7), основание равно 8.
Шестнадцатеричная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления является позиционной системой счисления .
Алфавит шестнадцатеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), основание равно 16.
(Десятичное значение: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)
Перевод целых чисел из десятичной системы счисления
21
Перевод целых чисел из десятичной системы счисления
Пример. Перевести число 75 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.
75
2
74
37
2
1
36
18
2
18
2
1
9
8
0
4
2
1
4
75 10 = 1001011 2
2
2
0
2
2
1
0
0
0
1
Перевод целых чисел из десятичной системы счисления
Пример 1. Перевести число 75 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.
16
75
75
8
64
4
7 2
16
9
8
0
11
0
8
3
1
8
4
1
0
0
1
75 10 = 4B 16
75 10 = 113 8
В меню
10 2
20
2
20 = 10100 2
20
2
10
10
0
5
2
Основание : 2
Алфавит : 0, 1
4
0
2
2
2
1
1
2
0
0
0
2 10
1
4 3 2 1 0
разряды
10100 2
= 1·2 4 + 0 ·2 3 + 1·2 2 + 0 ·2 1 + 0 ·2 0
= 16 + 4 = 20
10 8
100
8
96
12
8
Основание : 8
Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
8
4
1
8
100 = 144 8
0
4
0
1
8 10
2 1 0
разряды
144 8
= 1· 8 2 + 4· 8 1 + 4· 8 0
= 64 + 32 + 4 = 100
Основание : 16
Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A , 10
F 15
E , 14
C , 12
B , 11
D , 13
1 0 16
444
16
16 10
432
27
16
16
12
2 1 0
разряды
1
16
С
C
B
= 1·16 2 + 11 ·16 1 + 12 ·16 0
= 256 + 176 + 12 = 444
1BC 16
0
11
0
B
1
444 = 1BC 16
Какое максимальное число можно записать в двоичной системе счисления четырьмя цифрами?
Переведите полученное число в десятичную систему счисления.
Ответ: 1111 2 = 15 10 .
Было 11 яблок. После того как каждое яблоко разрезали пополам, стало 110 половинок.
Возможно ли это? Обоснуйте ответ.
Выпишите алфавит традиционной позиционной пятеричной системы счисления.
Переведите число 32 5 в десятичную систему счисления.
Ответ: алфавит пятеричной системы счисления – цифры (0,1,2,3,4).
32 5 = 3 5 1 + 2 5 0 = 15 + 2 = 17 10
