Преобразование алгебраических дробей (8-й класс)
Горелова Татьяна Евгеньевна, учитель математики
Основные цели:
сформировать способность к выполнению действий (сложения и вычитания) с алгебраическими дробями с разными знаменателями, опираясь на правило сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями;
повторить и закрепить сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Оборудование: Демонстрационный материал.
Задания для актуализации знаний:
1) 
+
; 2) 
-
;
3) 
+
; 4) 
+
; 5) 
-
.
Эталоны:
1) Алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.
Чтобы сложить или вычесть обыкновенные дроби с разными знаменателями, надо:
Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю.
Сложить или вычесть полученные дроби.
2) Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.
Раскладываем все знаменатели на множители.
Из первого знаменателя выписываем произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.
Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в общем (новом) знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.
Найдём для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.
Запишем каждую дробь с новым числителем и общим (новым) знаменателем.
3) Эталоны к самостоятельной работе с самопроверкой:
3) Карточка для этапа рефлексии.
Данная тема мне понятна.
Я знаю, как найти дополнительные множители к каждой из дробей.
Я умею находить новые числители для каждой из дробей.
В самостоятельной работе у меня всё получалось.
Я смог понять причину ошибки, которую допустил в самостоятельной работе.
Я доволен своей работой на уроке.
ХОД УРОКА
1. Самоопределение к деятельности.
Цели этапа:
Включение учащихся в учебную деятельность: продолжение путешествия по стране “Алгебраические выражения”.
Определение содержательных рамок урока: продолжение работать с алгебраическими дробями.
Организация учебного процесса на этапе 1:
- Доброе утро, ребята! Мы продолжаем наше увлекательное путешествие по стране “Алгебраические выражения”.
- С какими “обитателями” страны мы встречались на предыдущих уроках? (С алгебраическими выражениями.)
- Что мы можем выполнять со знакомыми нам алгебраическими выражениями? (Сложение и вычитание.)
- Какая характерная особенность алгебраических дробей, которые мы уже умеем складывать и вычитать? (Мы складываем и вычитаем дроби, имеющие одинаковые знаменатели.)
- Верно. Но мы все вместе хорошо понимаем, что навыков выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, недостаточно. Как вы считаете, что ещё необходимо нам научиться делать? (Выполнять действия с дробями, имеющими разные знаменатели.)
- Молодцы! Тогда продолжим наше путешествие? (Да!)
2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.
Цели этапа:
Актуализировать знания о выполнении действий с дробями с одинаковыми знаменателями, приёмы устных вычислений.
Зафиксировать затруднение.
Организация учебного процесса на этапе 2:
На доске записано несколько примеров на выполнение действий с дробями:
1) +=
=
;
2) -=
=
=
= -1;
3) +=
+
=
;
4) +=
+
=
;
5) -=
-
=
=
.
Учащимся предлагается в громкой речи озвучить свои варианты решения.
В первом примере ребята без труда выдают правильный ответ, вспоминая алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.
Когда уже прозвучал комментарий к примеру № 2, учитель акцентирует внимание на примере № 2:
- Ребята, посмотрите, что у нас интересного в примере № 2? (Мы не только выполняли действия с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, но и выполняли сокращение получившейся алгебраической дроби: вынесли знак “минус” за скобки, в числителе и знаменателе получили одинаковые множители, на которые впоследствии мы и сократили результат.)
- Очень хорошо, что вы не забыли, что основное свойство дроби применимо не только к обыкновенным, но и алгебраическим дробям!
- Кто же прокомментирует для всех решение следующих трёх примеров?
Скорее всего, найдётся ученик, который без труда решит пример № 3.
- Чем же ты воспользовался при решении примера № 3? (Мне помог алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.)
Как именно ты действовал? (Я привёл алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю 15, а затем сложил их.)
- Замечательно! А как у нас обстоят дела с двумя последними примерами?
Когда дело доходит до следующих двух примеров, ребята (каждый для себя) фиксируют возникшее затруднение.
Слова учеников приблизительно такие:
- Я затрудняюсь выполнить примеры 4–5, так как передо мной алгебраические дроби, не с “одинаковыми” знаменателями, и в состав этих разных знаменателей входят переменные (№ 4), а в № 5 вообще в знаменателях стоят буквенные выражения!..”
Ответ на задания 4–5 не получены.
3. Выявление места и причин затруднений и постановка цели деятельности.
Цели этапа:
Зафиксировать отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности.
Сформулировать цель и тему урока.
Организация учебного процесса на этапе 3:
- Ребята? Где же возникло затруднение? (В примерах 4–5.)
- Почему же при их решении вы не готовы обсудить решение и дать ответ? (Потому что алгебраические дроби, предложенные в этих заданиях, имеют разные знаменатели, а нам знаком алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.
- Что же нам ещё надо уметь делать? (Надо научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)
- Я согласна с вами. Как можно сформулировать тему нашего сегодняшнего урока? (Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.)
Тема урока записывается в тетрадях.
4. Построение проекта выхода из затруднения.
Цель этапа:
Построение детьми нового способа действий.
Фиксация алгоритма приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.
Организация учебного процесса на этапе 4:
- Какую же цель мы сегодня поставим перед собой на уроке? (Научиться складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями.)
- Как же быть? (Для этого мы должны построить алгоритм дальнейшей работы с алгебраическими дробями.)
- Что нам необходимо придумать для достижения цели урока? (Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю, чтобы потом работать по привычному нам правилу сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.)
Работа может быть организованы в группах, каждой группе даётся лист бумаги и маркер. Учащиеся могут предложить свои варианты алгоритма в виде перечисления шагов. На работу отводится 5 минут. Группы вывешивают свои варианты алгоритма или правила, и дальше проводится анализ каждого варианта.
Скорее всего, кто-то из учащихся обязательно проведёт аналогию своего алгоритма с алгоритмом сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множителей, а затем складывают и вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Впоследствии этого выводится единый вариант. Он может быть таким:
Раскладываем все знаменатели на множители.
Из первого знаменателя выписываем произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.
Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.
Найдём для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.
Запишем каждую дробь с новым числителем и общим (новым) знаменателем.
- Ну что же, применим наше правило для выполнения нерешённых предложенных заданий. Каждое задание (4, 5) проговаривают поочерёдно некоторые учащиеся класса, учитель фиксирует решение на доске.
- Мы с вами просто гении! Нами построен алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. Совместными усилиями нами ликвидировано затруднение, так как перед нами теперь настоящий “путеводитель” (алгоритм) по неизведанной для нас стране “Алгебраические дроби”!
5. Первичное закрепление во внешней речи.
Цель этапа:
Тренировать способность к приведению алгебраических дробей к общему знаменателю.
Организовать проговаривание изученного содержания правила-алгоритма во внешней речи.
Организация учебного процесса на этапе 5:
- Ребята, но все мы хорошо знаем, что просто смотреть и знать “карту местности” - это ещё не путешествие. Что мы должны сделать, чтобы глубже и больше проникнуть в мир алгебраических дробей? (Мы должны решать примеры, и вообще тренироваться в решении примеров, для того, чтобы закрепить наш новый алгоритм.)
- Совершенно верно. Поэтому я предлагаю начать наше исследование.
Далее начинается работа: (Один ученик у доски, остальные выполняют задание в тетрадях.)
-
.
Ученик устно проговаривает план своего решения, учитель корректирует, если допущены некоторые неточности.
Приблизительно это звучит так:
- Мы должны подобрать число, которое разделится одновременно на 2 и на 5. Это число 10. Затем подбираем переменные в нужной нам степени. Итак, нашим новым знаменателем будет 10x
y. Подбираем дополнительные множители. К первой дроби: 5y, ко второй: 2x. Умножаем подобранные дополнительные множители на каждый старый числитель. Получаем алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, выполняем вычитание по уже привычному для нас правилу.
- Я довольна. А теперь наша большая команда разделиться на пары, и мы продолжим наш интересный путь.
Учащиеся работают в парах, проговаривая решение друг другу:
+
=
+
=
=
;
+
=+
=
=
.
6. Самостоятельная работа с самопроверкой.
Цели этапа:
Провести самостоятельную работу.
Провести самопроверку по готовому эталону для самопроверки.
Учащиеся зафиксируют затруднения, определяют причины ошибок и исправляют ошибки.
Организация учебного процесса на этапе 6:
- Я внимательно наблюдала за вашей работой и пришла к выводу, что каждый из вас уже готов самостоятельно обдумывать способы и находить решения примеров по нашей сегодняшней теме. Поэтому я предлагаю вам небольшую самостоятельную работу, после завершения которой вам будет предложен эталон с правильным решением и ответом.
выполняют работу по вариантам.
а) 
-
б) 
-
После выполнения работы проводится проверка по эталону. Проверяя решения, учащиеся отмечают “+” правильное решение, “?” не верное решение. Желательно, чтобы ученики, допустившие ошибки, объяснили причину, по которой они неправильно выполнили задание.
Проводится анализ и исправление ошибок.
- Итак, какие сложности встретились на вашем пути? (Я допустил ошибку при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак “минус”.)
- Какая причина этому? (Просто из-за невнимательности, но в будущем буду осторожнее!)
- Что ещё показалось нелёгким? (Мне было непросто подобрать дополнительные множители к дробям?)
- Тебе обязательно надо изучить подробнее 3 пункт алгоритма, чтобы не возникала такая проблема в дальнейшем!
- Были ещё затруднения? (А я просто не привёл подобные слагаемые ).
- И это поправимо. Когда вы проделаете всё, что возможно по новому алгоритму, необходимо вспомнить и давно изученный материал. В частности, приведение подобных слагаемых, или сокращение дробей и т.п.
7. Включение новых знаний в систему знаний.
Цель этапа: повторить и закрепить изученный на уроке алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.
Организация учебного процесса на этапе 7:
- Ребята! Как я уже заметила, необходимо всегда “поддерживать связь” нового материала с пройденными темами. Поэтому сейчас я предлагаю задания, для выполнения которых потребуются не только сегодня полученные знания, но и материалы ранее изученных тем.
Учащимся предлагается задания, в которых новый способ действий связывается с изученными до сегодняшнего дня способами. Работа с предложенными заданиями проводится в группах:
Выполнить действия:
1) 
+
; 3) 
+ 
;
2) 
+
; 4) 
+
.
По окончанию работы представитель каждой группы выступает с получившимися результатами
8. Рефлексия урока.
Цель этапа: зафиксировать новое содержание, оценить собственную деятельность.
Организация учебного процесса на этапе 8:
- Какую цель мы поставили в начале урока? (Научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)
- Что мы придумали для достижения цели? (Алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.)
- Что мы ещё использовали при этом? (Мы раскладывали на множители знаменатели, подбирали НОК для коэффициентов, и дополнительные множители для числителей.)
- А теперь возьмите какую-нибудь цветную ручку или фломастер и отметьте знаком “+” те высказывания, с истинностью которых вы согласны:
У каждого ученика карточка с фразами. Дети отмечают и показывают учителю.
- Молодцы!
Домашнее задание:
