![Подготовка к ОГЭ Задание 26. Автор: Учитель математики МБОУ «Лукашевская СОШ» Преснова Анастасия Андреевна](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/12/i_5a0773415fe61/img_phpcciWPA_Podgotovka-k-OGE_0.jpg)
Подготовка к ОГЭ Задание 26.
Автор:
Учитель математики МБОУ «Лукашевская СОШ»
Преснова Анастасия Андреевна
![Точки M и N лежат на диагонали АС ромба ABCD на расстоянии соответственно 3 и 6 от точки А. Найдите радиус окружности, проходящей через точку M и N и касающийся стороны AB, если cos DAC = B L О А C M N D Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 30.09.2014](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/12/i_5a0773415fe61/img_phpcciWPA_Podgotovka-k-OGE_1.jpg)
Точки M и N лежат на диагонали АС ромба ABCD на расстоянии соответственно
3 и 6 от точки А. Найдите радиус окружности, проходящей через точку M и N и
касающийся стороны AB, если cos DAC =
B
L
О
А
C
M
N
D
Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 30.09.2014
![Вспомогательные задачи](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/12/i_5a0773415fe61/img_phpcciWPA_Podgotovka-k-OGE_2.jpg)
Вспомогательные задачи
![Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через точку C и касается прямой AB в точке B.Найдите AB, если диаметр окружности равен 15, а AF =1.F точка пересечения окружности со стороной треугольника. Решение: По теореме о касательной и секущей: AB 2 = AC*AF AC = AF+FC=16 AB = 16 AB = 4 Найти: Дано: AB - ? FC=15 AF=1 AB-касательная B C A F Ответ: AB = 4](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/12/i_5a0773415fe61/img_phpcciWPA_Podgotovka-k-OGE_3.jpg)
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через точку C
и касается прямой AB в точке B.Найдите AB, если диаметр окружности равен 15,
а AF =1.F точка пересечения окружности со стороной треугольника.
Решение:
По теореме о касательной
и секущей:
AB 2 = AC*AF
AC = AF+FC=16
AB = 16
AB = 4
Найти:
Дано:
AB - ?
FC=15
AF=1
AB-касательная
B
C
A
F
Ответ: AB = 4
![2 Дан треугольник ABC, где CA = 3, CB = 5 2, cos ACB = 2 . Найдите BA. Решение: Найти: Дано: CA = 3 По теореме косинусов BA - ? CB = 5 2 1 2 BA 2 =CA 2 +CB 2 - 2CA*CB*cos ABC BA 2 = 44 cos ACB = 2 BA=2 11 B 5 2 A 3 С Ответ: BA=2 11](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/12/i_5a0773415fe61/img_phpcciWPA_Podgotovka-k-OGE_4.jpg)
2
Дан треугольник ABC, где CA = 3, CB = 5 2, cos ACB = 2 . Найдите BA.
Решение:
Найти:
Дано:
CA = 3
По теореме косинусов
BA - ?
CB = 5 2
1
2
BA 2 =CA 2 +CB 2 - 2CA*CB*cos ABC
BA 2 = 44
cos ACB = 2
BA=2 11
B
5 2
A
3
С
Ответ: BA=2 11
![Хорда AB стягивает дугу окружности в 82 . Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Найдите AOB, где О-центр данной окружности. (Углы представьте как в градусах так и через дуги.) B Найти: ABC - ? AOB - ? Решение: AOB – центральный угол AOB=82 AOB = BA Рассмотрим AOB. AO=OB=R AOB-равнобедренный OBA= BAO =(180 -82 )/2=49 По свойству радиуса, проведенного в точку касания угол OBC=90 ABC= 90 - 49 = 41 По свойству углов связанных с окружностью ABC =1/2 BA Дано: BA-хорда BC-касательная AB =82 C A O Ответ: ABC =1/2 BA = 41 AOB = BA= 82 ](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/12/i_5a0773415fe61/img_phpcciWPA_Podgotovka-k-OGE_5.jpg)
Хорда AB стягивает дугу окружности в 82 . Найдите угол ABC между этой хордой
и касательной к окружности, проведенной через точку B. Найдите AOB, где
О-центр данной окружности. (Углы представьте как в градусах так и через дуги.)
B
Найти:
ABC - ?
AOB - ?
Решение:
AOB – центральный угол
AOB=82
AOB = BA
Рассмотрим AOB. AO=OB=R
AOB-равнобедренный
OBA= BAO =(180 -82 )/2=49
По свойству радиуса, проведенного
в точку касания угол OBC=90
ABC= 90 - 49 = 41
По свойству углов связанных с
окружностью
ABC =1/2 BA
Дано:
BA-хорда
BC-касательная
AB =82
C
A
O
Ответ:
ABC =1/2 BA = 41
AOB = BA= 82
![Основная задача](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/12/i_5a0773415fe61/img_phpcciWPA_Podgotovka-k-OGE_6.jpg)
Основная задача
![Точки M и N лежат на диагонали АС ромба ABCD на расстоянии соответственно 3 и 6 от точки А. Найдите радиус окружности, проходящей через точку M и N и касающийся стороны AB, если cos DAC = B Найти: Дано: ABCD - ромб АM = 3 AN = 6 cos DAC = L LO - ? О C А M N D](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/12/i_5a0773415fe61/img_phpcciWPA_Podgotovka-k-OGE_7.jpg)
Точки M и N лежат на диагонали АС ромба ABCD на расстоянии соответственно
3 и 6 от точки А. Найдите радиус окружности, проходящей через точку M и N и
касающийся стороны AB, если cos DAC =
B
Найти:
Дано:
ABCD - ромб АM = 3
AN = 6
cos DAC =
L
LO - ?
О
C
А
M
N
D
![B Решение: 1. Так как ABCD – ромб, то ABC = ADC (по 3ем сторонам).Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. Из этого следует что cos DAC =cos BAC = L О 2. По теореме о касательной и секущей найдем AL. AL 2 = AM*AN AL = 18 C А M N 3. Рассмотрим ALM. По теореме косинусов найдем LM. LM 2 = AL 2 + AM 2 - 2AM*AL*cos LAM LM=3 D 4. Заметим, что AM=LM. Следовательно, AML-равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника ALM = LAM](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/12/i_5a0773415fe61/img_phpcciWPA_Podgotovka-k-OGE_8.jpg)
B
Решение:
1. Так как ABCD – ромб, то ABC = ADC (по 3ем сторонам).Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. Из этого следует что cos DAC =cos BAC =
L
О
2. По теореме о касательной и секущей найдем AL.
AL 2 = AM*AN
AL = 18
C
А
M
N
3. Рассмотрим ALM. По теореме косинусов найдем LM.
LM 2 = AL 2 + AM 2 - 2AM*AL*cos LAM
LM=3
D
4. Заметим, что AM=LM. Следовательно, AML-равнобедренный. По свойству
равнобедренного треугольника ALM = LAM
![B Решение: 1. Так как ABCD – ромб, то ABC = ADC (по 3ем сторонам).Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. Из этого следует что cos DAC =cos BAC = L E О 2. По теореме о касательной и секущей найдем AL. AL 2 = AM*AN AL = 18 А C M N 3. Рассмотрим ALM. По теореме косинусов найдем LM. LM 2 = AL 2 + AM 2 - 2AM*AL*cos LAM LM=3 D 4. Заметим, что AM=LM. Следовательно, AML-равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника ALM = LAM 1 5. По свойству углов, связанных с окружностью : ALM = 2 LM . Так как LOM – центральный угол. LOM =LM . 6. Рассмотрим LOM, где OL = OM = R. Следовательно, этот треугольник равнобедренный. Проведем к стороне LM высоту. 7. По свойствам равнобедренного треугольника высота является и биссектрисой и медианой. Отсюда следует: 1 1 LOE = 2 LOM = 2 LM= ALM cos LOE = cos ALM = и LE = LM:2 =1.5](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/12/i_5a0773415fe61/img_phpcciWPA_Podgotovka-k-OGE_9.jpg)
B
Решение:
1. Так как ABCD – ромб, то ABC = ADC (по 3ем сторонам).Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. Из этого следует что cos DAC =cos BAC =
L
E
О
2. По теореме о касательной и секущей найдем AL.
AL 2 = AM*AN
AL = 18
А
C
M
N
3. Рассмотрим ALM. По теореме косинусов найдем LM.
LM 2 = AL 2 + AM 2 - 2AM*AL*cos LAM
LM=3
D
4. Заметим, что AM=LM. Следовательно, AML-равнобедренный. По свойству
равнобедренного треугольника ALM = LAM
1
5. По свойству углов, связанных с окружностью : ALM = 2 LM . Так как LOM – центральный угол. LOM =LM .
6. Рассмотрим LOM, где OL = OM = R. Следовательно, этот треугольник равнобедренный. Проведем к стороне LM высоту.
7. По свойствам равнобедренного треугольника высота является и биссектрисой и медианой. Отсюда следует:
1 1
LOE = 2 LOM = 2 LM= ALM
cos LOE = cos ALM = и LE = LM:2 =1.5
![B Решение: 8. По тригонометрической формуле найдем sin LOE sin LOE = 1-cos 2 LOE 2 sin LOE = 2 По определению: LE sin LOE = LO 2 3 2 2LO LO = 3 2 L E О C А M N D R = 3 2 Ответ:](http://fsd.compedu.ru/html/2017/11/12/i_5a0773415fe61/img_phpcciWPA_Podgotovka-k-OGE_10.jpg)
B
Решение:
8. По тригонометрической формуле найдем sin LOE
sin LOE = 1-cos 2 LOE
2
sin LOE = 2
По определению: LE
sin LOE = LO
2 3
2 2LO
LO = 3 2
L
E
О
C
А
M
N
D
R = 3 2
Ответ: