![ГАПОУ КО «Калужский колледж экономики и технологий» Многогранники и тела вращения Урок обобщения, систематизации, контроля и коррекции ЗУН Подготовила: преподаватель Лавриеня Е.А. Калуга, 2018](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_0.jpg)
ГАПОУ КО «Калужский колледж экономики и технологий»
Многогранники и тела вращения
Урок обобщения, систематизации, контроля и коррекции ЗУН
Подготовила: преподаватель Лавриеня Е.А.
Калуга, 2018
![Скажи мне – и я забуду, Покажи мне – и я запомню, Дай мне действовать самому – И я научусь. Китайская мудрость.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_1.jpg)
Скажи мне – и я забуду,
Покажи мне – и я запомню,
Дай мне действовать самому –
И я научусь.
Китайская мудрость.
![Цель занятия Обобщение, систематизация, контроль и коррекция знаний и умений по теме: «Многогранники и тела вращения»](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_2.jpg)
Цель занятия
Обобщение, систематизация, контроль и коррекция знаний и умений по теме:
«Многогранники и тела вращения»
![После изучения темы студент должен Знать: Основные понятия темы «Многогранники»: определение призмы, параллелепипеда, пирамиды и усеченной пирамиды; Основные элементы многогранников: боковая поверхность, основание, апофема, высота; Основные понятия темы «Тела вращения»: определение цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара и сферы; Основные элементы тел вращения: боковая поверхность, основание, образующая, высота, радиус основания; Виды возможных сечений многогранников и тел вращения; Формулы площадей и объемов многогранников и тел вращения. Уметь: Изображать на чертеже многогранники и тела вращения; Строить сечения многогранников и тел вращения; Находить все элементы многогранников и тел вращения; Вычислять площади многогранников и тел вращения: полной поверхности, боковой, основания; Вычислять объемы многогранников и тел вращения.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_3.jpg)
После изучения темы студент должен
Знать:
- Основные понятия темы «Многогранники»: определение призмы, параллелепипеда, пирамиды и усеченной пирамиды;
- Основные элементы многогранников: боковая поверхность, основание, апофема, высота;
- Основные понятия темы «Тела вращения»: определение цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара и сферы;
- Основные элементы тел вращения: боковая поверхность, основание, образующая, высота, радиус основания;
- Виды возможных сечений многогранников и тел вращения;
- Формулы площадей и объемов многогранников и тел вращения.
Уметь:
- Изображать на чертеже многогранники и тела вращения;
- Строить сечения многогранников и тел вращения;
- Находить все элементы многогранников и тел вращения;
- Вычислять площади многогранников и тел вращения: полной поверхности, боковой, основания;
- Вычислять объемы многогранников и тел вращения.
![План урока: Вступительная речь учителя Разминка Теоретический этап Групповое задание Индивидуальное задание Кроссворд Подведение итогов Постановка Д/З](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_4.jpg)
План урока:
- Вступительная речь учителя
- Разминка
- Теоретический этап
- Групповое задание
- Индивидуальное задание
- Кроссворд
- Подведение итогов
- Постановка Д/З
![Этап № 1 «Разминка»](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_5.jpg)
Этап № 1
«Разминка»
![Дайте определение многогранника Многогранник - это тело, ограниченное несколькими многоугольниками](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_6.jpg)
Дайте определение многогранника
Многогранник - это тело, ограниченное несколькими многоугольниками
![Дайте определение призмы Призма — многогранник, две грани которого равные параллельные многоугольники (основания призмы), а все остальные – параллелограммы (боковая поверхность)](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_7.jpg)
Дайте определение призмы
Призма — многогранник, две грани которого равные параллельные многоугольники (основания призмы), а все остальные – параллелограммы (боковая поверхность)
![Дайте определение параллелепипеда Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_8.jpg)
Дайте определение параллелепипеда
Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм
![Дайте определение пирамиды Пирамида – это многогранник, одна из граней которого - многоугольник (основание пирамиды), а все другие грани – треугольники (боковая поверхность) с одной общей вершиной (вершина пирамиды)](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_9.jpg)
Дайте определение пирамиды
Пирамида – это многогранник, одна из граней которого - многоугольник (основание пирамиды), а все другие грани – треугольники (боковая поверхность) с одной общей вершиной (вершина пирамиды)
![Дайте определение усеченной пирамиды Усеченная пирамида – это часть пирамиды, заключенная межу основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_10.jpg)
Дайте определение усеченной пирамиды
Усеченная пирамида – это часть пирамиды, заключенная межу основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию
![Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей через ось конуса? Равнобедренный треугольник](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_11.jpg)
Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей через ось конуса?
Равнобедренный треугольник
![Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра? Круг](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_12.jpg)
Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра?
Круг
![Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра? Прямоугольник](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_13.jpg)
Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра?
Прямоугольник
![Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей перпендикулярно оси конуса? Круг](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_14.jpg)
Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей перпендикулярно оси конуса?
Круг
![Что представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной основанию конуса, но не проходящей через его вершину? Парабола](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_15.jpg)
Что представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной основанию конуса, но не проходящей через его вершину?
Парабола
![Цилиндр можно получить путем вращения … … прямоугольника, вокруг одной из его сторон](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_16.jpg)
Цилиндр можно получить путем вращения …
… прямоугольника, вокруг одной из его сторон
![Конус можно получить путем вращения … … прямоугольного треугольника, вокруг одного из его катетов](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_17.jpg)
Конус можно получить путем вращения …
… прямоугольного треугольника, вокруг одного из его катетов
![Усеченный конус можно получить путем вращения … … прямоугольной трапеции, вокруг ее прямой боковой стороны](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_18.jpg)
Усеченный конус можно получить путем вращения …
… прямоугольной трапеции, вокруг ее прямой боковой стороны
![Шар можно получить путем вращения … … полукруга вокруг его диаметра](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_19.jpg)
Шар можно получить путем вращения …
… полукруга вокруг его диаметра
![Какая фигура является лишней и почему? Ответ: №4, т. к. это объемное тело](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_20.jpg)
Какая фигура является лишней и почему?
Ответ: №4, т. к. это объемное тело
![На рисунке изображены различные геометрические тела. Какие из них являются многогранниками? Ответ: №2 и №3](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_21.jpg)
На рисунке изображены различные геометрические тела. Какие из них являются многогранниками?
Ответ: №2 и №3
![Этап № 2 «Теоретическое задание»](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_22.jpg)
Этап № 2
«Теоретическое задание»
![Многогранники](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_23.jpg)
Многогранники
![Призма](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_24.jpg)
Призма
![Призмы S пол = S бок = V = 2 S осн + S бок Р осн ∙ l H ∙ S осн](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_25.jpg)
Призмы
S пол =
S бок =
V =
2 S осн + S бок
Р осн ∙ l
H ∙ S осн
![Пирамиды](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_26.jpg)
Пирамиды
![Пирамида](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_27.jpg)
Пирамида
![S пол = S осн + S бок S бок = Р осн ∙ l V = H ∙ S осн](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_28.jpg)
S пол = S осн + S бок
S бок = Р осн ∙ l
V = H ∙ S осн
![Усеченная пирамида](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_29.jpg)
Усеченная пирамида
![Площадь полной поверхности и объем усеченной пирамиды S пол = S осн1 + S бок + S осн2 S бок = ∙ l ∙ (Р осн1 + Р осн2 ) V = H ∙ ( S осн1 + S осн2 + )](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_30.jpg)
Площадь полной поверхности и объем усеченной пирамиды
S пол = S осн1 + S бок + S осн2
S бок = ∙ l ∙ (Р осн1 + Р осн2 )
V = H ∙ ( S осн1 + S осн2 + )
![Тела вращения](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_31.jpg)
Тела вращения
![Цилиндр S пол = S бок + 2S осн S бок = 2 π R·H S осн = π R 2 S пол = 2 π R·H + 2 π R 2 V = H·S осн V = H· π R 2](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_32.jpg)
Цилиндр
S пол = S бок + 2S осн
S бок = 2 π R·H
S осн = π R 2
S пол = 2 π R·H + 2 π R 2
V = H·S осн
V = H· π R 2
![Конус S пол = S бок + S осн S бок = π R·l S осн = π R 2 S пол = 2 π R·l + π R 2 V = H·S осн V = H· π R 2](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_33.jpg)
Конус
S пол = S бок + S осн
S бок = π R·l
S осн = π R 2
S пол = 2 π R·l + π R 2
V = H·S осн
V = H· π R 2
![Усеченный конус S пол = S бок + S осн 1 + S осн 2 S бок = π ( R + r)·l S осн 1 = π r 2 S осн 2 = π R 2 S пол = 2 π ( R + r)·l + π r 2 + π R 2 V = H· π ( R 2 + r 2 + r R)](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_34.jpg)
Усеченный конус
S пол = S бок + S осн 1 + S осн 2
S бок = π ( R + r)·l
S осн 1 = π r 2
S осн 2 = π R 2
S пол = 2 π ( R + r)·l + π r 2 + π R 2
V = H· π ( R 2 + r 2 + r R)
![Сфера и шар S сф =4 π R 2 V ш = π R 3](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_35.jpg)
Сфера и шар
S сф =4 π R 2
V ш = π R 3
![](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_36.jpg)
![Этап № 3 «Групповое задание»](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_37.jpg)
Этап № 3
«Групповое задание»
![Задание: Произвести необходимые измерения и вычислить объёмы и площади полных поверхностей моделей геометрических тел:](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_38.jpg)
Задание: Произвести необходимые измерения и вычислить объёмы и площади полных поверхностей моделей геометрических тел:
![Этап № 4 «Индивидуальное письменное задание» 39](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_39.jpg)
Этап № 4
«Индивидуальное письменное задание»
39
![Критерии оценки:](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_40.jpg)
Критерии оценки:
- Правильное оформление условия задачи (дано, требуется найти, рисунок) – 1-2 балла;
- Ход решения и обоснование к нему – 2-3 балла;
- Верный получившийся ответ – 1-2 балла.
![Этап № 5 «Кроссворд»](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_41.jpg)
Этап № 5
«Кроссворд»
![Вопросы к кроссворду. 1. Фигура, состоящая из многоугольника и n треугольников. 2. Концы рёбер. 3. Высота боковой грани правильной пирамиды. 4. Фигура, являющаяся боковой гранью пирамиды. 5. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания призмы. 6. Бывает двугранным, трехгранным, четырехгранным и т. д. 7. Какой величины не хватает в формуле S бок = ∙ l 8. Фигура, являющаяся боковой гранью усечённой пирамиды. 9. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. 10. Многоугольники, из которых составлен многогранник. 11. Для какой фигуры вычисляется объём по формуле V = H ∙ S осн 12. Правильный многогранник, состоящий из 8 равносторонних треугольников. Кроссворд по теме «Многогранники» 2 1 1 2 4 4 м 3 3 м 5 н 5 н о о г 9 6 о г 7 9 г 7 8 6 о 8 г 10 р 10 а р 11 н а н н 11 н 12 и 12 к и к](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_42.jpg)
Вопросы к кроссворду.
1. Фигура, состоящая из многоугольника и n треугольников.
2. Концы рёбер.
3. Высота боковой грани правильной пирамиды.
4. Фигура, являющаяся боковой гранью пирамиды.
5. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания призмы.
6. Бывает двугранным, трехгранным, четырехгранным и т. д.
7. Какой величины не хватает в формуле
S бок = ∙ l
8. Фигура, являющаяся боковой гранью усечённой пирамиды.
9. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.
10. Многоугольники, из которых составлен многогранник.
11. Для какой фигуры вычисляется объём по формуле V = H ∙ S осн
12. Правильный многогранник, состоящий из 8 равносторонних треугольников.
Кроссворд по теме «Многогранники»
2
1
1
2
4
4
м
3
3
м
5
н
5
н
о
о
г
9
6
о
г
7
9
г
7
8
6
о
8
г
10
р
10
а
р
11
н
а
н
н
11
н
12
и
12
к
и
к
![Ответы к кроссворду в п и е р р а ш т м и а р и н е п в у о д а ы д ф а г с и у о п о е т т а л г м е г г р р а ь о а и р о л а н н м а п п и е р е а н к л и ц и о т к ь з р и т м я а а э д р](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_43.jpg)
Ответы к кроссворду
в
п
и
е
р
р
а
ш
т
м
и
а
р
и
н
е
п
в
у
о
д
а
ы
д
ф
а
г
с
и
у
о
п
о
е
т
т
а
л
г
м
е
г
г
р
р
а
ь
о
а
и
р
о
л
а
н
н
м
а
п
п
и
е
р
е
а
н
к
л
и
ц
и
о
т
к
ь
з
р
и
т
м
я
а
а
э
д
р
![Домашнее задание](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_44.jpg)
Домашнее задание
- Повторить теорию по теме «Многогранники и тела вращения»
- Решить две задачи
![№ 1. Через точку на сфере, радиусом 2 см. проведен большой круг и сечение, пересекающее плоскость большого круга под углом шестьдесят градусов. Найдите площадь сечения.](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_45.jpg)
№ 1. Через точку на сфере, радиусом 2 см. проведен большой круг и сечение, пересекающее плоскость большого круга под углом шестьдесят градусов. Найдите площадь сечения.
![№ 2. Цилиндр пересекли плоскостью, перпендикулярной оси и получили круг площадью 3 π . Чему равен радиус цилиндра?](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_46.jpg)
№ 2. Цилиндр пересекли плоскостью, перпендикулярной оси и получили круг площадью 3 π . Чему равен радиус цилиндра?
![Спасибо за внимание](http://fsd.compedu.ru/html/2019/11/17/i_5dd1970d8e1cc/img_phpakdPOa_Mnogogranniki-i-tela-vracsheniya-Lavrienya-EA_47.jpg)
Спасибо за внимание