Методическая разработка урока по теме «Меры разброса» - 11 класс
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом
Цели урока:
познакомить учащихся с основными числовыми мерами разброса случайных величин: размах отклонение от среднего, дисперсией, средним квадратическим отклонением;
отработать навыки нахождения этих характеристик для небольших наборов дискретных случайных величин.
Задачи урока:
образовательные – показать, что окружающий нас изменчивый мир можно описать математическими понятиями, числовыми показателями;
развивающие – формировать современное мировоззрение и умение ориентироваться в изменчивом информационном мире;
воспитательные – учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, общаться на деловой основе, применять вводимые понятия в практической жизни, видеть их роль в разных областях деятельности человека.
Используемые средства обучения: учебник, рабочие листы.
Ожидаемые результаты:
Коммуникативные: уметь находить в тексте информацию, необходимую для решения задачи.
Регулятивные: удерживать цель деятельности до получения ее результата.
Познавательные: уметь строить рассуждения в форме связи простых рассуждений об объекте, его строении, свойствах и связях.
Личностные: формирование навыков анализа, творческой инициативности и активности.
Формы организации работы учащихся: индивидуальная, фронтальная, групповая.
Формы и приемы контроля: самоконтроль, взаимоконтроль, дискуссия, диагностика.
Оборудование: учебники, раздаточный материал
ХОД УРОКА
Организационный момент
Я хочу начать наше занятие сказкой «Пряник и колосок», которую известный педагог В.А.Сухомлинский написал для своего сына.
Рано утром, до восхода солнца, поднялся Человек, взял в карман белый Пряник и пошел в поле.В поле он ходил по посевам, любовался пшеницей. Сорвал Колосок, вынул из него зернышко, попробовал на зуб, улыбнулся. Спрятал в карман Колосок. И тут встретились Колосок и Пряник.
— Кто ты такой?— спросил Пряник.
— Я Колосок.
— Ух, какой ты колючий... А для чего ты существуешь? Какая от тебя польза?
Улыбнулся Колосок, пошевелил усами-остьями и отвечает:
— Без меня не было бы ни хлеба, ни сухаря, ни тебя, Пряника.
Удивился Пряник, с уважением посмотрел на Колосок, потеснился, уступил ему место.
— Значит, — говорит Пряник, — все из тебя. Но кто же над тобой старший?
— Труд, — ответил Колосок, — он все создает. Но труд в руках человека. Труд и человек – самые главные.
Поэтому я вас призываю к усердному труду на занятии, чтобы познать истину действий в математической статистике.
Эпиграфом к занятию будут слова Морделла Луиса Джоэла «Вряд ли мне следует объяснять, что одна из важнейших задач математики – помощь другим наукам».
Сегодня на уроке мы узнаем, что называется размахом выборки. Выясним, что называют отклонением от среднего. Познакомимся с величиной, которую называют дисперсией. Узнаем, что называют средним квадратичным отклонением. Ребята сегодня будем работать на рабочем листе.
II. Актуализация знаний учащихся
Вопросы фронтального опроса:
– Hазовите виды случайных величин.
– Назовите закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Задача. Имеется выборка выигрышей в рублях четырех человеке: 120, 730,730,5800.
Найти моду, медиану и среднее значение данной выборки.
Решение:
Мо = 730
Ме = 730
X̅ =1845
III. Изучение нового материала, формирование знаний, умений и навыков
Здесь мода равна . Медиана также равна . Среднее равно .
Очевидно, что ни мода, ни медиана, ни среднее не могут выступать в роли единой объективной характеристики данной выборки. Это объясняется тем, что наименьшие значения этой выборки существенно отличаются от наибольшего. А вот разность наибольшего и наименьшего значений соизмерима с наибольшим значением 
.
Сформулируем определение. Разность наибольшего и наименьшего значений случайной величины выборки называется её размахом и обозначается буквой R.
Размах выборки (R) – разница между наибольшим и наименьшим значением случайной величины в выборке
Для рассматриваемой выборки размах равен разности 
и 
, то есть равен 
.
Размах показывает, насколько велик разброс значений случайной величины в выборке. Однако, зная размах выборки, невозможно охарактеризовать отличие её элементов друг от друга, отличие каждого элемента от среднего значения.
А как сравнить две выборки, которые имеют одинаковые размахи и одинаковые средние значения?
Давайте рассмотрим пример. На место столяра претендуют двое рабочих. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны изготавливать одинаковые стулья из дерева. В следующей таблице приведены результаты претендентов.
Каждый из рабочих за пять дней изготовил 
деталей. Следовательно, средняя производительность труда за день у обоих рабочих одинаковая и равна 
стульев в день.
Моды у предложенных совокупностей отсутствуют. Чтобы найти медианы, расположим значения в порядке возрастания.
, 
, 
, 
, 
; 
, 
, , 
, 
.
Количество данных в обоих случаях нечётно. Слева и справа от числа находятся по два элемента. Получается, что медианы одинаковые ( и ).
В качестве критерия сравнения совокупностей в данном случае может выступать стабильность производительности труда. Её можно оценить с помощью отклонений от среднего значения элементов совокупности.
Давайте сформулируем определение.
Отклонение от среднего - разность между рассматриваемым значением случайной величины и средним значением выборки.
Например, если значение 
, а значение 
, то отклонение 
от среднего равно 
.
Каким может быть отклонение от среднего?
Отклонение от среднего может быть, как положительным, так и отрицательным.
Н
айдём отклонение от среднего и внесём найденные значения в таблицу.
Покажем на нашем примере, что сумма отклонений всех значений выборки от среднего значения равна 
.
, 
.
Поэтому характеристикой стабильности элементов совокупности может служить сумма квадратов отклонений от среднего.
Д
авайте найдём квадраты отклонений от среднего и суммы квадратов отклонений.
Видим, что у второго рабочего сумма квадратов отклонений от среднего больше, чем у первого, то есть можно записать неравенство 
.
На практике это означает, что второй рабочий имеет нестабильную производительность труда: в какие-то дни он работает не в полную силу, а какие-то навёрстывает упущенное, а это всегда сказывается на качестве продукции.
Получается, что работодатель захочет взять на место столяра первого рабочего, ведь у первого рабочего сумма квадратов отклонений от средней производительности меньше.
В рассмотренном примере рабочие работали одинаковое количество дней. Если бы рабочие работали разное количество дней и производили в среднем за день одинаковое число деталей, то стабильность работы каждого из них можно было бы оценить по величине среднего арифметического квадратов отклонений.
Такая величина называется дисперсией, что в переводе с латинского означает «рассеяние», и обозначается буквой 
.
Для случайной величины 
, принимающей 
различных значений и имеющей среднее значение 
, дисперсия находится по формуле
(Устно № 1201 стр 381)
Давайте решим задачу. Два столяра изготавливали одинаковые стулья из дерева. При этом первый столяр трудился полную рабочую неделю, а второй – 
дня. Сведения об их дневной выработке представлены в таблице. Сравните стабильность работы столяров.
Итак, найдём средние значения выборок данных величин X и Y.
, 
.
Таким образом, мы получили, что найденные значения равны.
Далее найдём отклонения от среднего для всех значений величин X и Y.
Затем найдём квадраты отклонений от среднего. Найдём сумму квадратов отклонений от среднего всех значений величин X и Y.
Теперь найдём дисперсию совокупности значений случайной величины X, то есть среднее арифметическое квадратов отклонений.
Найдём дисперсию совокупности значений случайной величины Y.
Таким образом мы получили, что .
Следовательно, второй столяр работает стабильнее первого.
Отметим, что если значения 
, , …, 
случайной величины повторяются с частотами 
, 
, …, 
соответственно, то дисперсию величины можно вычислить по формуле
,
где 
.
И
спользуя знак суммы Ʃ, данную формулу можно записать более компактно.
, где .
Пусть величина имеет некоторую размерность (например, миллиметры). Тогда её среднее значение и отклонение от среднего 
имеют ту же размерность, что и сама величина (в миллиметрах). А вот квадрат отклонения 
и дисперсия имеют размерности квадрата этой величины (в квадратных миллиметрах).
Для оценки степени отклонения от среднего значения удобно иметь дело с величиной той же размерности, что и сама величина . С этой целью используются значения 
.
Сформулируем определение. Корень квадратный из дисперсии называют средним квадратичным отклонением и обозначают 
, то есть 
.
Первичное закрепление
Устно № 1201 стр 381)
Найти среднее квадратичное отклонение от среднего значения выборки:
см, 
см, см, 
см, 
см.
Решение :
4.Итоги урока: Проговорить еще раз основные термины.
Размах выборки, отклонение от среднего, сумма квадратов отклонений,
дисперсия.
5.Домашнее задание . Сделать тест
ФИ________________________________________
Рабочий лист по теме «Статистика. Меры разброса»
ЗАДАЧА1 . Имеется выборка выигрышей в рублях четырех человеке: 120, 730,730,5800.
Найти моду, медиану и среднее значение данной выборки.
Решение: Мо = Ме = X̅ =
Размах выборки (R) -________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
Для рассматриваемой выборки размах равен разности и , то есть равен .
Размах показывает, насколько велик разброс значений случайной величины в выборке. Однако, зная размах выборки, невозможно охарактеризовать отличие её элементов друг от друга, отличие каждого элемента от среднего значения.
ЗАДАЧА 2. На место столяра претендуют двое рабочих. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны изготавливать одинаковые стулья из дерева. В следующей таблице приведены результаты претендентов.
Найти среднюю производительность труда за день
обоих рабочих, моду и медиану:
М1 =
М2 =
Х̅ =
Y̅=
В качестве критерия сравнения совокупностей в данном случае может выступать стабильность производительности труда. Её можно оценить с помощью отклонений от среднего значения элементов совокупности.
Отклонение от среднего - _______________________________________________________________
Например, если значение , а значение , то отклонение от среднего равно .
Каким может быть отклонение от среднего?
Отклонение от среднего может быть___________________________________________________________
Найдём отклонение от среднего и внесём найденные значения в таблицу.
Сумма отклонений всех значений выборки от среднего значения равна _________.
Поэтому характеристикой стабильности элементов совокупности может служить сумма квадратов отклонений от среднего.
Давайте найдём квадраты отклонений от среднего и суммы квадратов отклонений.
Сделаем выводы: .
На практике это означает, что второй рабочий имеет нестабильную производительность труда.
Получается, что работодатель захочет взять на место столяра первого рабочего, ведь у первого рабочего сумма квадратов отклонений от средней производительности меньше.
В рассмотренном примере рабочие работали одинаковое количество дней. Если бы рабочие работали разное количество дней и производили в среднем за день одинаковое число деталей, то стабильность работы каждого из них можно было бы оценить по величине среднего арифметического квадратов отклонений.
Такая величина называется дисперсией, что в переводе с латинского означает «рассеяние», и обозначается буквой .
Для случайной величины , принимающей различных значений и имеющей среднее значение , дисперсия находится по формуле:
ЗАДАЧА3. Два столяра изготавливали одинаковые стулья из дерева. При этом первый столяр трудился полную рабочую неделю, а второй – дня. Сведения об их дневной выработке представлены в таблице. Сравните стабильность работы столяров.
Итак, найдём средние значения выборок данных величин X и Y.
Далее найдём отклонения от среднего для всех значений величин X и Y.
Затем найдём квадраты отклонений от среднего. Найдём сумму квадратов отклонений от среднего всех значений величин X и Y.
Теперь найдём дисперсию совокупности значений случайной величины X, то есть среднее арифметическое квадратов отклонений.
Н айдём дисперсию совокупности значений случайной величины Y.
Таким образом мы получили, что . . Следовательно, второй столяр работает стабильнее первого.Для оценки степени отклонения от среднего значения удобно иметь дело с величиной той же размерности, что и сама величина . С этой целью используются значения .
Среднее квадратическое отклонение -_________________________________________________,
то есть .
Тест по теме «Статистика. Меры разброса»
Вопрос 1
Как называют разность между рассматриваемым значением случайной величины и средним значением выборки?
Варианты ответов
Размах
Отклонение от среднего
Дисперсия
Вопрос 2
Как называют разность наибольшего и наименьшего значений случайной величины выборки?
Вопрос 3
Что в переводе с латинского означает слово "дисперсия"?
Варианты ответов
Отклонение
Рассеяние
Представительность
Вопрос 4
Как называют корень квадратный из дисперсии?
Варианты ответов
Среднее квадратичное отклонение
Отклонение от среднего
Среднее арифметическое квадратов отклонений
Вопрос 5
Чему равна сумма отклонений всех значений выборки от среднего значения?
Вопрос 6
Чему равен размах выборки 12, 14, 16, 15, 18?
Вопрос 7
Чему равен размах выборки 3, 8, -1, 3, 0, 5, 3, -1, 3, 5?
Вопрос 8
Найдите дисперсию выборки 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм, 300 мм.
Варианты ответов
21 704
1473
430
Вопрос 9
Чему равна дисперсия выборки 4, 7, 3,9?
Варианты ответов
D ≈ 5,69
D ≈ 2,38
D ≈ 35,5
Вопрос 10
Токарь, выточив 6 одинаковых деталей, допустил погрешности (в мм): 2, ‒ 5, 4, ‒3, ‒3, 5. Найдите среднее квадратичное допущенных им погрешностей.
Варианты ответов
1
2
3
I вариант
№ 1.
День недели | Дневная выработка первого рабочего(X) | | |
пн | 52 | | |
вт | 54 | | |
ср | 50 | | |
чт | 48 | | |
пт | 46 | | |
| | | |
ΣХ =
Мо =
Ме =
X̅ =
№ 2.
День недели | Дневная выработка первого рабочего | Отклонение от среднего | квадрат отклонения от среднего |
Х | Х - Х̅ | (Х – ̅Х)2 | |
пн | 53 | | |
вт | 54 | | |
ср | 49 | | |
чт | 48 | | |
пт | 46 | | |
Dx =
II вариант
№ 1
День недели | Дневная выработка второго рабочего(Y) | | |
пн | 61 | | |
вт | 40 | | |
ср | 55 | | |
чт | 50 | | |
пт | 44 | | |
| | | |
ΣХ =
Мо =
Ме =
X̅ =
№ 2.
День недели | Дневная выработка второго рабочего | Отклонение от среднего | квадрат отклонения от среднего |
Y | Y - Y̅ | (Y – Y̅)2 | |
пн | 52 | | |
вт | 46 | | |
ср | 53 | | |
чт | 49 | | |
пт | --- | | |
Dy =
