Лайфхаки ЕГЭ. Наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке.

Лайфхаки ЕГЭ. Наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке.

По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. Сегодня мы их вспомним! А еще, поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.

Почему задания на производную решает только 40% выпускников?

Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.

Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.

Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.

Сначала необходимо понять, что именно от вас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.

Если есть слово «точка» то нужно искать – Х; если этого слова нет – ищи У.

Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике

В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.

З адание 11

Найти точку максимума или минимума Найти наибольшее или наименьшее значения функции

Поиск точек экстремума

Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:

Нахождение точки минимума/максимума:

1. Находим производную.

2. Находим точки экстремума: приравниваем производную к нулю и решаем уравнение.

3. Рисуем ось, отмечаем на ней корни. Сверху описываем производную, а снизу саму функцию.

4. Находим знаки производной в интервалах между корнями. Для этого подставляем удобные числа из интервалов в производную.

5. Определяем вид каждого экстремума:

точка минимума: переход с «-» на «+»

точка максимума: переход с «+» на «-»

Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума

Поиск наибольшего / наименьшего значения функции

Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.

Нахождение наибольшего/наименьшего значения функции на [а; b]:

1. Находим производную, приравниваем к нулю и находим точки экстремума.

2. Считаем значение ИСХОДНОЙ функции вначале промежутка и в конце промежутка

в экстремумах, лежащих [а; b] (если есть).

3. Выбираем нужное значение. В ответ значение ФУНКЦИИ.

Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ

Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!

Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.

Показательные функции:

1. , найти наибольшее значение функции на

Решение: Так как в ответ не может содержать букву е, то возможны следующие варианты ответа:

А) y=0

Б) Приравнять к нулю степень у буквы е, т.е. x-7=0, получим x=7. Подставим в функцию: y(7)=1*e⁰=1.

Среди найденных значениях yвыбираем наибольшее. Таким образом получим y_наиб=1

Ответ: 1

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

1. , найти наибольшее значение функции на отрезке

Решение:

А) y=0

Б) 10-x=0, x=10

y(10)=(100-100+10)e⁰=10.

y_наиб=10

Ответ: 10

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

Логарифмические функции

1. Найдите наибольшее значение функции   на отрезке [−4,5; 0].

Решение:

Ответ не должен содержать ln, поэтому приравниваем к 1 внутреннюю часть натурального логарифма, т.е. (x+5)⁵=1, получим x=-4. Находим y(-4)=ln1+20=20.

Y_наиб=20.

Ответ: 20

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

1. Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

Решение:

9x=1, т.е. x=1/9.

Находим y(1/9)=1-ln1+3=4.

y_наим=4

Ответ: 4

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

Тригонометрические функции

1. Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

Решение:

Так как ответ не должен содержать числа π и чисел с радикалами, то выделяем выражение с числом π и с x, и приравниваем его к нулю

5π/4 -5x=0,

x=π/4

Находим

Ответ: -2

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

1. Найдите наибольшее значение функции   на отрезке 

Решение:

Ответ: 4

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

Степенные и иррациональные функции

1. Найдите наибольшее значение функции   на отрезке 

Решение:

Так как ответ не содержит чисел с радикалами, то выбираем из отрезка натуральные числа, из которых вычисляется соответствующий корень:

Среди полученных чисел находим наибольшее значение y_наиб=10

Ответ: 10

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

1. Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

Решение:

Функции вида , где принадлежит отрезку, на котором требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции, имеют соответствующее значение .

Т.е. в нашем примере y_наим=y(-3)= - 1

Ответ: -1

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

Функции вида

1. Найдите наибольшее значение функции   на отрезке 

Решение:

Точка, в которой находится наибольшее (наименьшее) значение функции равна: , а конкретно в тойточке, которая принадлежит заданному отрезку.

Ответ: -10.

Сегодня мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!

• Учите производную!

• Пользуйтесь алгоритмами!

• Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!