Квадратные уравнения. Конспект урока

8 класс Алгебра

Разработка уроков по теме: "Квадратные уравнения"

Цель: Познакомить учащихся с квадратными уравнениями, дискриминантом, теоремой Виета.

Показать учащимся, как решаются квадратные уравнения различных видов.

Развивать внимание и логическое мышление учащихся.

Воспитывать аккуратность и четкость в записях учащихся.

Ход урока:

• Оргмомент.

• Составление конспекта лекции.

Определение. Уравнение вида ax²+bx+c=0, где а, b и c – некоторые числа, причем а 0, а х – переменная, называется квадратным.

Примеры: 2х²+2х+1=0; -3х²+4х=0; 9х²-25=0. В каждом из уравнений назвать, чему равны коэффициенты.

Определение. Если в уравнении вида ax²+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен 0, то уравнение называют неполным квадратным.

1. Если с=0, то уравнение имеет вид ax²+bx=0. Оно решается разложением на множители. Уравнение данного вида всегда имеет два корня, всегда один из них равен нулю.

Пример: 4х²+16х=0 Решить самостоятельно:

4х (х+4) = 0 3х²-6х=0

4х=0 или х+4=0

х=0 х= -4

Ответ: х=0, х= -4.

2. Если b=0, то уравнение имеет вид ax²+c=0. Оно решается только тогда, когда у коэффициентов а и с разные знаки. При решении уравнений применяет формулу разности квадратов.

Пример: 1) 1-4y²=0 2) 6х²+12=0

(1-2y) (1+2y) =0 Решений нет, так как это сумма квадратов, а не разность.

3. Если b=0 и с=0, то уравнение имеет вид ах²=0. Уравнение имеет единственный корень х=0.

Решение полных квадратных уравнений

Определение. Выражение вида D=b²-4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

Примеры. Вычислите дискриминант

2х²+3х+1=0, a=2, b=3, c=1 D=3²-4* 2* 4= -23

5х²-2х-1=0, a=5, b=-2, c=-1 D=(-2)²-4* 5* (-1)= 24

Самостоятельно: вычислите дискриминант -2х²-2х+5=0, 3х²+7х-3=0.

Если второй коэффициент является четным числом, формулу корней удобно записать в другом виде:ax²+2kx+c=0; D= k²-2ac,

Вывод:

1. Если D0, то уравнение имеет два разных корня.

2. Если D=0, то уравнение имеет два равных корня.

3. Если D

Примеры:

1) 3х²+5х-8=0

2) х²+5х+10=0

Решение:

a=1, b=5, c=10, D=5²-4E 1* 10= -15

Ответ: корней нет.

3) Решить самостоятельно

х²-6х+9=0 a=1, b=-6, c=9

Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Задача1. Сумма двух чисел равна 13, их произведение равно 40. Найдите эти числа

Решение: I+II=13, I * II=40

Пусть х – первое число, тогда (13-х) – второе число. Зная, что их произведение равно 40, составляем уравнение:

х (13-х)=40,

-х²+13х-40=0,

х²-13х+40=0,

D=(-13)²-4 * 1 * 40= 9

х₁=8, х₂=5.

Если первое число 8, тогда второе 5; если первое число 5, тогда второе 8.

Ответ: 8 и 5.

Теорема Виета.

Определение. Квадратное уравнение с первым коэффициентом, равным единице, называется приведенным x²+bx+c=0. Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным.

5х²-2х+3=0. Разделим обе части уравнения на 5.

– приведенное квадратное уравнение.

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пример. Проверить теорему Виета для уравнения.

1) х²-9х+20=0.

х₁+х₂=9 х₁=4 D=(-9)²-4* 20= 1

х_1E х₂=20 х₂=5 , х₁=4, х₂=5

Ответ: х₁=4, х₂=5.

) самостоятельно х²+16х+63=0

Обратная теорема. Если два числа в сумме равны b, а в произведении равны с, то эти числа являются корнями квадратного уравнения x²-bx+c=0.

Пример: 1) Составить квадратное уравнение, чтобы корни его были 2 и 3.

Решение. х₁+х₂=2+3=5, значит, b=-5

х_1* х₂=6, значит, с=6

Ответ: х²-5х+6=0.

2) самостоятельно х₁=4, х₂=6. Составить квадратное уравнение.

Определение. Уравнение вида ax⁴+bx²+c=0, называется биквадратным.

Биквадратное уравнение решается с помощью замены вида x²=t

Пример 1) x⁴-15x²-96=0

Решение

Пусть x²=t, тогда t²-15t-96=0

t₁+t₂=15, t₁=16

t_1* t₂=-16, t₂=-1

x²=16 x²=-1

х=G 4 корней нет

Ответ: х₁=4, х₂=-4.

2) самостоятельно x⁴-11x²-12=0.

Итог урока.

Домашнее задание. Выучить конспект, п 19-23, ответить на вопросы 1-5 после п. 23