"Компоненты вычислительной культуры"

1.Компоненты вычислительной культуры

Счёт и вычисления – основа порядка в голове.

Иоганн Генрих Песталоцци

Всем известно, какую роль в школьном курсе обучения имеют вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычислений.

Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Ранее он сводился в основном к вычислениям, поэтому за ним закрепилось название «устный счет». Ярким примером тому является картина Николая Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского».

Посчитать сумму чисел от и до	Чисел	Пар	Сумма крайних	Результат
От 1 до 20	20	10	21	210
От 1 до 100	100	50	101	5050
От 1 до 50	50	25	51	1275
От 1 до 30	30	15	31	465
От 1 до n	n	n/2	n +1	n ( n+1)/2
От 101 до 300	200	100	401	40100
От 51 до 450	400	200	501	100200

Картина была написана в 1895г., то есть более 115 лет назад. Мальчики собрались около классной доски и что-то рассматривают. Ясно, что эта картина не из нашей школьной жизни. Вот и надпись на картине 61895 год – время старой дореволюционной школы.

Все ребята решают пример, который предложил им учитель:

(10 10 + 11 11 + 12 12 + 13 13 +141 4): 365.

Как видно, каждое из чисел 10, 11, 12, 13, 14 нужно умножить само на себя, результаты сложить, а полученную сумму разделить на 365.

Квадраты чисел 10, 11, 12, 13, 14 знает почти каждый ученик. Это: 100, 121, 144, 169, 196.Сложим первые три числа: 100,121, 144. Получим 365. Если сумму первых трех чисел разделить на 365, получится один. Теперь сложим остальные два числа: 169 и 196, получим 365. Сумму последних двух чисел разделим на 365, получим один. И в итоге получится два. Для решения этого примера надо знать, что сумму можно делить не сразу всю, а каждое слагаемое в отдельности или же по группам в два-три слагаемых, а потом уж сложить получившиеся результаты.

Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя. Учитель – это Сергей Александрович Рачинский, известный русский педагог, доктор естественных наук, профессор ботаники Московского университета. В 1868 г. С.А. Рачинский решает «уйти в народ». На свои средства открывает школу для крестьянских детей в Смоленской губернии и становится в ней учителем. Его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы. Это картина гимн учителю и ученику.¹

Трудно, а может быть даже невозможно дать исчерпывающее определение музыкальной культуры человека или его культуры мышления, да и вообще понятие культуры вряд ли поддается однозначному определению. Можно лишь попытаться выделить те элементы, наличие которых является необходимым признаком культуры. Учитывая это, будем считать, что наличие у учащихся вычислительной культуры характеризуется следующей совокупностью признаков:

• Прочное и осознанное знание законов арифметических действий;

• Уверенное владение алгоритмами основных операций над рациональными числами;

• Умение эффективно сочетать устные, письменные вычисления;

• Применение рациональных приемов вычислений;

• Выработка потребности и умений осуществлять самоконтроль;

• Умение по условию задачи определить, являются ли исходные данные точными или приближенными.

Многие навыки, сопутствующие вычислениям, неизбежно требуются и в быту, и в школьной практике. Так, нередко, может потребоваться замена числа, близким ему числом, например 5740 6 тыс., представление числа в эквивалентной форме, например 25% - это 0,25, то есть четверть, сравнение чисел на основе качественных оценок.

2 Упрощённые приёмы устных вычислений.

Умножение двузначного числа на 11.

Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.

72 11 = 7 (7+2) 2 = 792;

35 11 = 3 (3+5) 5 = 385;

• Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

78 11 = 7 (7+8) 8 = 7(15)8 = 858.

94 11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = 1034;

• Умножение числа на 11 (по Трахтенбергу).²

Разберем на примере: 633 умножить на 11.

Ответ пишется под 633 по одной цифре справа налево, как указано в правилах.

Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата

633 11

3

Второе правило. Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат. 3 + 3 будет 6. Перед тройкой записываем результат 6.

633 11

63

Применим правило еще раз: 6 + 3 будет 9. Записываем и эту цифру в результате:

633 11

963

Третье правило. Первая цифра числа 633, то есть 6, становится левой цифрой результата:

633 11

6963

Ответ: 6963.

• Умножение числа на 11 (по Берману).³

Берман вывел, что при умножении на одиннадцать, число нужно умножить на 10 и прибавить само себя, то есть то число, которое мы умножаем.

Пример: 110 11 = 110 (10 + 1) = 110 10 + 110 1 = 1100 + 110 =1210 Ответ: 1210.

Пример: 123 11 = 123 (10 +1) = 123 10 + 123 1 = 1230 + 123 =1353 Ответ: 1353.

3.2. Умножение числа на 111, 1111, 11111 и т.д.

• Умножение числа на 111, 1111, 11111 и т.д., зная правила умножения двузначного числа на 11

Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.

Пример:

24 111 = 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов – 2)

24 1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов – 3)

При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.

72 111111 = 7999992 (количество шагов – 5)

Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6.

Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д.

61х 11111111 = 677777771

Эти вычисления можно легко произвести в уме.

• Умножение двузначного числа на 111, 1111, 11111 и т.д., сумма цифр которого равна 10 или больше 10⁴

Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.

Примеры:

48 111 = 4 (4+8) (4+8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 +1) (2+1) 28 = 5328.

В этом случае к первой цифре надо прибавить 1. Получим 5.

Далее 2 + 1 = 3. А последние цифры 2 и 8 оставляем без изменения.

56 11111 = 5(5+6)(5+6)(5+6)(5+6)6 = 5(11)(11)(11)(11)6 = 622216

67 1111 = 6(6+7)…7 = 6(13)…7 = 74437

3.3. Алгоритмы ускоренных вычислений.

• Умножение на числа близкие к 10, 20,30… справа и слева: 8, 9, 11, 12, 13; 18,19,21,22..

Примеры:

25 12=25 (10+2)=250+50=300;

11 36=36 (10+1)=360+36=396;

27 9=(30-3) 9=270-27=243,

27 9=(10-1)27=270-27=243.

• Умножение чисел на 101 , 1001 и т.д.

Чтобы любое число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа

это же число.

Примеры:

32 101 = 3232; 47 101 = 4747; 54 101 = 5454; 93 101 = 9393.

Интересным свойством обладает число Шехерезады. Оно является произведением простых чисел 7, 11, 13. При умножении числа 1001 на любое трёхзначное число, в ответе получается число, записанное дважды данным трёхзначным числом.

Пример. 1001 х 347 = 347 347.

На этом свойстве числа 1001 основаны многие математические «фокусы» угадывания чисел.

Примеры:

324 1001 = 324 324; 675 1001 = 675 675; 869 1001 = 869 869.

Другие примеры:

6478 10001 = 64786478;

846932 1000001 = 846932846932.

• Умножение чисел на 37.

Прежде чем научиться устно умножать на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111,

Примеры:

24 37 = (24:3) 37 3 = 8 111 = 888; 18 37 = 18 : 3 111 = 6 111 = 666.

быстрый счет умножение число

• Умножение трехзначного числа на 999.⁵

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9.

Например:

572

573 999 = 572 427

999

• Умножение на 12 (по Трахтенбергу)

Правило умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее «соседа».

Пример: 63247 12

Необходимо записывать цифры множимого через интервал и каждую цифру результата писать точно под цифрой числа 63247, из которой она образовалась.

063247 12 дважды 7 будет = 14, переносим 1

4

063247 12 дважды 4 + 7 + 1 = 16, переносим 1

64

063247 12 дважды 2 + 4 + 1 = 9

964

Следующие шаги аналогичны.

Окончательный ответ : 063247 12

758964

• Умножение на 12 (по Берману)

При умножении на 12 можно число умножить сначала на 6, а затем на 2.

6, в свою очередь, можно разбить на 2 множителя – это 3 и 2.

Пример : 136 12 = 136 6 2 = 816 2 = 1632 или

136 12 = 136 3 2 2 = 408 2 2 = 816 2 = 1632

3.4. Способы устного возведения в квадрат.

• Квадрат числа, оканчивающегося на 5.⁶

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 5, нужно отбросить эту цифру 5, умножить полученное число на следующее натуральное число и к полученному результату приписать 25.

Пример. Найдем без помощи калькулятора квадрат 95.

1. 9 10 =90

2. к числу 90 приписываем число 25, получаем 9025. Т.е. 95² = 9025;

Пример. 135² → (13 14)→ к полученному результату припишем 25

Умножим устно 13 на 14 способом, описанным выше.

13 14= 17

+ 12

182→приписываем 25→18225, т.о. 135²=18225.

Пример. Аналогично и с десятичными дробями: 7,5² =56,25.

• Квадрат числа, близкого к 50.

При возведении в квадрат числа, близкого к 50, число 50 играет роль опорного числа.

Алгоритм:

1. Определяется разность.

2. К этой разности прибавляется число 25.

3. К полученному результату приписываются два нуля, а затем добавляется квадрат разности.

Пример. Найдем без помощи калькулятора квадрат числа 47.

1. Число 50 - это опорное число. Тогда разность равна 47- 50= -3 ²=9.

2. 47²=2200+9=2209.

Пример. Найдем без помощи калькулятора квадрат числа 64.

1. Число 50-это опорное число. Тогда разность равна 64- 50 = 14 0.

2. 25 + 14 = 39. Квадрат разности равен 196. Следовательно,

64²= 3900 + 196 = 4096.

• Квадрат числа, оканчивающегося на 1.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 1 на 0.

Пример. 71² = ?

71→70→70²=4900→4900+70+71=5041=71².

• Квадрат числа, оканчивающегося на 6.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат (описанным ранее способом) и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.

Пример. 56² =?

56→55→55²=3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56².

• Квадрат числа, оканчивающегося на 9.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно заменить эту цифру 9 на 0 (получим следующее натуральное число), возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 9 на 0.

Пример. 59² =?

59 → 60→60²=3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59².

• Квадрат числа, оканчивающегося на 4.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.

Пример. 84²=?

84→85→85²=7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84².

*При возведении в квадрат часто бывает удобно воспользоваться формулой (а b)²=а²+b² 2аb.

Пример.

41² = (40+1)²=1600+1+80=1681.

• Возведение в квадрат чисел, состоящих только из 1.

Вот несколько интересных образцов умножения, которые легко запоминаются и могут быть использованы на ГИА и ЕГЭ.

11 11 =121

111 111 = 12321

1111 1111 = 1234321

11111 11111 =123454321

111111 111111 = 12345654321

1111111 1 111111 = 1234567654321

11111111 11111111 = 123456787654321

111111111 111111111 = 12345678987654321

3.5. Интересные способы устных вычислений

• Чтобы умножить число на 1,5; 15; 150, нужно это число умножить соответственно на 1; 10; 100 и к полученному произведению прибавить его половину.

Пример. Найдем произведение чисел 66 и 1,5.

66 1,5 = 66 + (66 / 2) = 99.

• Чтобы умножить какое-то число на 5; 50; 500, его нужно умножить соответственно на 10; 100; 1 000 и полученное произведение разделить на 2. Число нулей в произведении равно числу цифр в целой части множителя.

Пример. Найдем произведение чисел 74 и 50.

74 50 = (74 100) / 2 = 7400 / 2 = 3 700.

• Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.

Пример. 214 4 = (214 2) 2 = 428 2 = 856

537 4 = (537 2) 2 = 1074 2 = 2148

• Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.

Пример. 124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31

2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662

• Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число.

Пример. 241 9 = 2410 – 241 = 2169

847 9 = 8470 – 847 = 7623

• Чтобы разделить число на 8,надо трижды разделить его на 2.

• Чтобы умножить число на 25, надо умножить его на 100 и разделить полученное произведение на 4.

3.6. Некоторые рекомендации для учащихся, желающих научиться быстро и рационально считать:

• Возьмите себе за правило для начала 5-7 или даже менее вычислений в день, но старайтесь выполнять их с улыбкой и неукоснительно! Не увеличивайте нагрузку чаще раза в неделю. Попробуйте сделать эти вычисления фоном для других занятий. При спокойном и положительном эмоциональном фоне скорость и объем вычислений возрастут достаточно быстро сами собой.

• Для лучшего и плавного привыкания к особенностям нагрузки при устном счете советуем сначала проделать это упражнение так: записываем на бумаге условия конкретного вычисления (скажем, 35*12), глядя на него, производим устный расчет, и записываем итог на бумагу (для возможности проверки). При таком подходе на начальном этапе легче набирать объем вычислений в расчете на день (неделю и т.п.).

• Важный признак и критерий - завершайте ваши занятия, когда еще сохраняется "аппетит" на их продолжение. Это весьма и весьма способствует созданию здорового психологического настроя в работе. Если вы будете ему следовать, каждый миг занятий сможет стать для вас творчеством, познанием, увлекательной игрой, в которую хочется играть все больше и больше... По окончании вычислений желательно определиться по направленности занятий на следующий день. Эти приемы весьма активно использовал и пропагандировал в своей писательской деятельности Э. Хемингуэй.⁷

Заключение

Математика – наука интересная и сложная, поэтому нельзя упускать ни одной возможности, чтобы сделать ее более доступной. Возрастание роли математики в современной жизни привело к тому, что для адаптации в современном обществе и активному участию в нем необходимо быть математически грамотным человеком.

Как мы видим, быстрый счет это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит, ее можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладеть.

В процессе исследования была проделана следующая работа:

• Проведена диагностика навыков быстрого счета учащихся.

• В результате анализа подобранной литературы найдены и изучены различные рациональные приемы вычислений.

• Проведены мастер-классы «Приемы быстрого счета» для учащихся 5,

7 «А», 9 «А», 9 «Б», 11 классов.

• Опытным путем установлено, что знание рациональных приемов способствуют быстроте вычислений.

Я выбрала тему «Устный счет – один из важных приемов при подготовке учащихся к ЕГЭ и ГИА по математике» потому, что я хотела бы научиться считать быстро и рационально, не прибегая к использованию калькулятора. В заключение хочется сказать, что изучив некоторые рациональные приемы вычислений и научившись применять их, можно более успешно подготовиться к сдаче ГИА и ЕГЭ по математике, а также это необходимо и в повседневной жизни.

Как же справедливы слова Иоганна Гёте: «Счёт является, правда, низкой, но уже идеальной деятельностью человека, и с помощью него столь многое осуществляется в обыденной жизни»…

Список литературы

1. Балаян.Э.Н.1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике. Ростов – на - Дону: Феникс,2005 г.

2. Берман Г. Н. Приемы счёта. М.: Физматгиз, 2006 г.

3. Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М.: Учпедгиз, 1948.

4. Коликов А.Ф. Изобретательность в вычислениях. М.: Дрофа, 2003 г.

Сорокин А. С. Техника счёта. М.: Знание, 2010 г.

1. Шустеф Ф.М. Материал для внеклассной работы по математике. М.: Мнемозина, 2006 г.

2. Юшкевич А. П. История математики с древнейших времен до начала ХIХ столетия. М.: Наука, 2003г.

3. Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1989 г.

4. Гончар Д. Р. Устный счёт и память: загадки, приёмы развития, игры. Донецк: Сталкер, 2001 г.

5. Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Учпедгиз.- 1998 г.

Интернет-ресурсы

1.http://karmanform.ucoz.ru/index/0-21

2.http://www.bymath.net/linktous/linkstous.html

3.http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=224

4.http://sbiryukova.com/Met_pos/4_15_21.htm

5.http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/priemy-bystrogo-scheta-na-urokakh- matematiki

6.http://www.5port.ru/perelman/bistriy_schet

Мастер класс " Устный счет - основа порядка в голове"
      М – мудрость, она приобретается годами.
      А – активность, в ней сила, здоровье, успех.
      С – счастье, Антон  Семёнович Макаренко писал « Научить человека быть счастливым нельзя,  а воспитать его так, чтобы он был счастливым – можно!»
     Т – творчество, ведь, чтобы озарять светом других, нужно носить солнце в себе.
     Е – единство, только в единстве учитель – ученик – родитель  можно добиться всех поставленных целей, создать атмосферу доверия  и ситуацию успеха.
      Р – результат, я хочу видеть своих учеников уверенными, умело выбирающими свой путь в жизни, снабженными прочными знаниями.
           И моя задача - дать ученикам эти знания.
           

   Сегодня я хотела бы показать некоторые приёмы быстрого счёта.

Умножение двузначного числа на 11, 111, 1111 и т.д.
    Если ты хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. 
                         Пример : 23 ∙11=2(2+3)3=253

      Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа.
                  Пример : 67 ∙  11 = 6(6+7)7 = 6(13)7 = (6+1) 37=737
          «Краешки сложи, в середину положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ.
       Если знаем,  как умножить на 11, то легко можем умножить на 111,1111 и т.д.
    Если хочешь умножить двузначное число на 111,1111 и т.д. надо мысленно цифры раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить полученные цифры числа и записать два, три и т.д.раза их сумму между раздвинутыми цифрами. 
             Пример:  24 ∙ 111 = 2(2+4)(2+4)4 = 2664
             Пример:  36 ∙ 1111 = 3(3+6)(3+6)(3+6)6 = 39996
Немного сложнее если сумма цифр равна 10 или более 10.
      Пример :  48 ∙ 111 = 4(4+8)(4+8)8 = 4(12)(12)8 = (4+1)(2+1)28 =5328.

    В этом случае надо к первой цифре прибавить 1, получим 5,далее к 2+1 получим 3, а последние две цифры оставить без изменения.
     
       Задание. Умножь быстро 32 ∙ 11         Проверь себя !   32 ∙ 11 =352       
        Задание. Умножь быстро 27 ∙ 111       Проверь себя!     27 ∙ 111 = 2997.

Умножение двузначного числа на 101.    
     Если ты хочешь умножить двузначное число на 101, то поступай так: припиши справа к данному числу  само число и прочитай его.
         Пример:   63 ∙ 101 = 6363
    
 Задание. Умножь быстро 93 ∙101          Проверь себя!  93 ∙ 101 = 9393.
 

                     Умножение на  9, 99,  999  и т.д.
Т.к.  9 = 10 – 1    99 = 100 – 1
*    При умножении на 9, 99 ,  999 и т.д. надо исходное число умножить на
10,  100 ,  1000 и т.д. и из полученного числа вычесть само число.
 
Пример:  45 ∙ 9 = 45 ∙ 10 – 45 = 450-45 = 405
Пример:  67 ∙ 99 = 67 ∙ 100 – 67 = 6700 – 67 = 6633 
     Задание. Умножь быстро   17  ∙ 99          
    Проверь себя!    17 ∙ 99 = 17 ∙ 100 – 17 = 1700 – 17 = 1683

       Квадрат  двузначного числа, которое заканчивается на 5.
Алгоритм возведения в квадрат числа, заканчивающиеся на 5 прост.
    Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К полученному результату приписываем 25.
            Пример :  152 = ( 1∙ (1+1))25 = 225
            Пример :   352 = (3∙ (3+1))25 = 1225
     Задание. Возвести  в квадрат число 25
     Проверь себя!   252 = (2 ∙  (2+1))25 = 625. 

Умножение числа на 0,5, 0,25, 0,125   
Запомни , что 0,5 = 1/2,  0,25 = 1/4  ,  0,125 = 1/8
    Если хочешь умножить четное число на 0,5, на 0,25 или на 0,125 раздели его на 2, на 4 или на 8.
Пример : 124 ∙ 0,5 = 124 : 2 = 62
Пример: 124 ∙ 0,25 = 124 : 4 = 31
     Задание. Умножьте  быстро 64 ∙0,5          
     Проверь себя!   64 ∙0,5 = 64 : 2 = 32

Деление  числа на 0,5, 0,25, 0,125   
    Если хочешь разделить число на 0,5, на 0,25 или на 0,125, то умножь это число на 2, на 4 или на 8 соответственно.
      Пример:      25 : 0,5 = 25 ∙ 2 = 50
      Пример :     13 : 0,25 = 13 ∙ 4 = 52 
     
          Задание. Разделите  быстро 37 : 0,5          
    
          Проверь себя!   37 : 0,5 = 37 ∙ 2 = 74
     

       
           Для проверки усвоения пройденного материала я предложу моим помощникам выполнить следующую работу в группе.
       Выполните действия и заполните таблицу.
          В таблице зашифровано слово, которое в русском прочтении означает «избыток» . этот термин используется в литературной речи для обозначения словосочетаний, содержащих некоторое преувеличение.
Е  = 652  = (6∙7)25=4225                     Б = 37 ∙ 101 = 3737
П = 228 ∙ 0,5 = 114                                   Р = 13 ∙ 111 = 1443
А = 625 ∙ 9 = 6250-625=5625                  И = 72 ∙ 11 = 792                                      
Г = 852 = (8∙9)25 = 7225                          О = 35 : 0,25 = 140
Л = 15 ∙ 99 = 1500 -15 = 1485

7225    792    114    4225    1443    3737    140    1485    5625
г    и    п    е    р    б    о    л    а

              Пока группа работает,  мне бы хотелось спросить у присутствующих 
 -  Как вы думаете, любят ли дети учить таблицу умножения? 
-   Правильно, большинство , как правило, терпеть не могут. И правильно делают. Ни к чему ее учить! Но не спишите возмущаться. Никто не утверждает, что таблицу не нужно знать.

             Изобретение таблицы умножения приписывают Пифагору, но, скорее всего, великий математик лишь придал законченную форму тому, что уже было известно. Люди давно пользуются этой удобной системой вычисления и открыли множество способов, которые помогают постичь внутреннюю логику и красоту таблицы.
           В древнем Китае таблицу умножения начинали учить с умножения на 9. Так  проще,  и  на в последнюю очередь потому, что умножать на 9 можно на «пальцах».

          Положите обе руки на колени ладонями вниз. Первый слева палец  -1, второй – 2 и т.д. Допустим нужно умножить 3 на 9. Загните 3-ий палец. Пальцы слева покажут десятки, справа – единицы.     Ответ. 27. 
         Попробуем умножить 6 на 9. Загибаем шестой палец.  Слева получаем5 десятков, а справа – 4 единицы. Ответ 54.

           « На пальцах»  можно посчитать всю таблицу Пифагора.
              Например,  умножим 8 на 7. Левая рука – первый множитель , правая – второй множитель. На руке 5 пальцев, а нам нужно 8 и 7. Загибаем на левой руке три пальца (5+3=8), а на правой 2 пальца ( 5+2=7) . Загнутых  пальцев у нас 5 – это десятки, значит будет 5 десятков. Теперь перемножим оставшиеся пальцы левой руки на оставшиеся пальцы правой руки  2 ∙ 3=6. Ответ . 56
            Попробуем умножить 8 на 6. Левая рука – первый множитель, правая – второй. На левой руке загибаем три пальца, на правой один палец, считаем сколько загнутых пальцев 3+1=4 –десятка. Перемножаем оставшиеся пальцы левой руки на количество оставшихся пальцев правой руки 2 ∙ 4=8. Ответ.48
     Это лишь один из простейших приемов « пальцевого»  умножения.
      У пальцевой системы есть бонус: ребенок воспринимает её как весёлую игру. Занимается охотно и в итоге очень скоро начинает проделывать все операции в уме, без помощи пальцев.
       Наша группа уже закончила работу. Какое же греческое слово зашифровано в таблице  ГИПЕРБОЛА.   
         Название этой линии  впервые было использовано в III веке до н.э. греческим математиком Аполлонием  Пергским в научной работе, посвященной линиям на поверхности конуса.

       Описывая приёмы быстрого счета, я попыталась показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись. 
       Мне хотелось бы узнать, с пользой ли для вас прошел мой мастер – класс. Если да, то попрошу, похлопать  в ладоши. Спасибо за аплодисменты.
Спасибо за внимание!!!
                  

1^ Шустеф Ф.М. Материал для внеклассной работы по математике. М.: Мнемозина, 2006 г.

2^ Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Учпедгиз.- 1998 г.

3^ Берман Г. Н. Приемы счёта. М.: Физматгиз, 2006 г.

4

5

6

7^ Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1989 г.