Финансовые задачи 7-9 класс

Финансовые задачи для курса алгебры 7—9 классов

1. Плата за телефон составляет 210 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 10%. Сколько рублей придётся платить ежемесячно за телефон в следующем году?

[7—9 классы. ОГЭ банк заданий. Задача на проценты.]

2. После уценки телевизора его новая цена составила 0,51 старой цены. На сколько процентов уменьшилась цена телевизора в результате уценки?

[7—9 классы. ОГЭ банк заданий. Задача на проценты.]

3. Спортивный магазин проводит акцию. Любой свитер стоит 800 рублей. При покупке двух свитеров — скидка на второй свитер 60%. Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух свитеров в период действия акции?

[7—9 классы. ОГЭ банк заданий. Задача на проценты.]

4. Тимуру нужно купить 5 л молока. Пакет молока объемом 1 л стоит 52 р. Пакет молока объемом 2 л стоит 97 р. Кроме того, в магазине проходит акция: три литровых пакета молока продаются по цене двух таких же пакетов. Какую наименьшую сумму в рублях потратит Тимур на покупку? Ответ объясните.

[7 класс. ВПР. Оптимальная стоимость. Вычисления]

Решение.

Вариант 1. 52  5 = 260 (р.) – стоимость 5 л молока, если брать по 1 л.

Вариант 2. 97  2 + 52 = 194 + 52 = 246 (р.) – стоимость 5 л, где 2 пакета по 2 л и 1 л.

Вариант 3.

1. 52  2 = 104 (р.) – стоимость 3 л молока.

2. 104 + 97 = 201 (р.) – стоимость 5 л молока.

201 р.

Ответ: 201 р.

5. Футболисту начислили за год заработную плату 1 млн. 200 тыс. р. Налог на заработную плату составил 13%. После выплаты налога 8% от оставшейся суммы выплачивается агенту футболиста, 270 тыс. р. уходит в оплату штрафа за неспортивное поведение на поле и 200 тыс. р. – в оплату штрафа за нарушение спортивного режима. На оставшиеся у него деньги футболист купил доллары по цене 60 р. за 1 доллар. Сколько долларов купил футболист?

[7 класс. Зарплата, налоги, валюта. Задача на проценты.]

Решение.

1) 1 200 000 0,13 = 156 000 (р.) — заплатил налог.

2) 1 200 000 – 156 000 = 1 044 000 (р.) — осталось после уплаты налога.

3) 1 044 000  0,08 = 83 520 (р.) — выплатил агенту.

4) 1 044 000 – 83 520 = 960 480 (р.) — осталось после выплаты налога агенту.

5) 960 480 – 270 000 – 200 000 = 490 480 (р.) — осталось у футболиста после всех выплат.

6) 490 480 : 60 = 8174 (долл.) — купил футболист долларов.

Ответ: 8174 доллара.

6. Смешав конфеты по 220 р. за килограмм и по 300 р. за килограмм, получили смесь по 240 р. за килограмм. Сколько граммов конфет того и другого сорта содержится в одном килограмме смеси?

[7 класс, задача на стоимость смеси товара; линейные уравнения или системы линейных уравнений:

А) 0,22х + 0,3(1000 – х) = 240

Б) 0,3х + 0,22(1000 – х) = 240

В)

Г)

7. Семья Ивановых живет в старом доме в центре Москвы в квартире с газовой плитой. Среднемесячное потребление семьёй электроэнергии составляет 180 кВтч, в том числе в период с 7:00 до 23:00 потребление составляет 120 кВтч. Текущие расценки на электроэнергию по одноставочному (одинаковому в течение суток) тарифу составляют 5,38 р. за 1 кВтч. Семья получила от энергосбытовой компании предложение установить в квартире многотарифный счетчик за 4550 р. и перейти на оплату электроэнергии по тарифу, дифференцированному в зависимости от времени суток. Текущие значения тарифа составляют 6,19 р. за 1 кВтч в период с 7:00 до 23:00 и 1,64 р. за 1 кВтч с 23:00 до 7:00. Если переход на дифференцированный тариф семье Ивановых выгоден, то за сколько месяцев при неизменном объёме и структуре потребления электроэнергии окупятся расходы на установку счетчика?

[7—9 классы. Оптимальная стоимость. вычисления]

Решение.

1) При одноставочном тарифе среднемесячные расходы на оплату электроэнергии составляют 5,38  180 = 968,4 (р.).

2) При двуставочном тарифе среднемесячные расходы составят

6,19  120 + 1,64  60 = 841,2 (р.).

3) Среднемесячная экономия на текущих платежах составит

968, 4  841,2 = 127,2 (р.).

4) Расходы на установку счётчика окупятся за 4550 : 127,2 = 35,8 (мес.).

Ответ: установка счётчика окупится за 36 месяцев.

8. Фирма-монополист выпускает некоторые станки, функция предложения которых имеет вид а функция спроса на них q = 910 – p, где р (шт.) – количество станков, а р (тыс. р.) – цена станка. Сколько станков продается при рыночном равновесии. При какой цене дефицит составит 570 тыс. р.? (Рыночное равновесие наступает при равенстве спроса и предложения.)

[7 класс, рыночное равновесие, либо система линейных уравнений: либо линейное уравнение = .]

8. Два бизнесмена купили акции одного достоинства на сумму 3 640 000 р. Когда цена на эти акции возросла, первый бизнесмен продал 75% своих акций, а второй – 80%. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым бизнесменом, на 140% превысила сумму, полученную первым. На какую сумму купил акции каждый из бизнесменов?

[7 класс, покупка и продажа акций, математические модели, составленные к задаче:

А)

Б)

В)

9. Иван Васильевич, проживающий в Московской области, в апреле 2016 г. купил семилетний автомобиль мощностью 200 л. с. Какой транспортный налог он должен уплатить за этот автомобиль в 2017 г., если транспортный налог на автомобили старше 5 лет рассчитывается по формуле (р.), где M л.с.  мощность автомобиля, N = 54 р.  ставка транспортного налога с 1 л.с., n – число месяцев в 2016 г., когда автомобиль принадлежал Ивану Васильевичу.

[7 класс, транспортный налог. Вычисления: 200  54  8 : 12 = 7200 (р.).

Ответ: 7200 р.]

10. Сделаны вклады на год в два банка: в одном под 14% годовых с потерей процентов в случае досрочного закрытия, а в другой банк под 11% годовых, но с сохранением процентов в случае досрочного закрытия. Через год из обоих банков были получены равные суммы денег. Сколько денег было положено в первый банк и сколько во второй, если общая сумма вкладов была равна 900 000 р.?

[7 класс, банковская задача, математические модели, составленные к задаче:

А)

Б)

В) 1,11х = (900 000  х)  1,14

Г) 1,14х = (900 000  х)  1,11

11. Ольга положила в банк 1 млн р. под некоторый процент. Через год ее вклад с начисленными процентами был пролонгирован (продлен) еще на год, однако годовой процент по нему был понижен на 4%. В конце второго года, закрыв вклад, она получила 1 254 000 р. Сколько процентов по вкладу начислил банк за первый год?

[8 класс. Банковский вклад. Квадратное уравнение х² + 196х – 2940 = 0]

12. Банковский вклад, не тронутый в течение года, в конце этого года увеличился на 10%. На сколько процентов увеличится вклад, не тронутый в течение 3 лет?

[8 класс. Банковский вклад. Квадрат суммы: (1 + 0,01p)², где p% -- проценты по вкладу, а S – коэффициент наращения вклада за 3 года.]

13. Галина Павловна использует для покупок дебетовую карту с возможностью овердрафта (перерасхода средств) в пределах 20 000 р., процентная ставка при использовании овердрафта составляет 20% годовых, льготный период отсутствует. При запросе остатка по счёту сумма овердрафта указывается как собственные средства. Галина Павловна увидела, что на ее карте есть 25 000 р. и расплатилась за покупки на общую сумму 15 000 р. С тех пор она этой картой больше не пользовалась и об этой операции забыла. Через год Галина Павловна получила от банка сообщение о просроченной задолженности. В общей сложности она должна погасить задолженность банку за 372 календарных дня. Какую сумму по расчётам банка она должна заплатить? Ответ округлите до рублей.

Решение. Собственных средств на карте 25 000 – 20 000 = 5000 (р.). Оплатив картой 15 000 р. Галина Павловна перерасходовала 15 000 – 5000 = 10 000 (р.). Овердрафт составил 10 000 р., с этой суммы нужно заплатить налог

2038 (р.).

Ответ: 2038 р. составила задолженность банку.

14. Игорь Владимирович взял ипотечный кредит в долларах. Его ежемесячный платёж составил 900 долларов вместо 26 000 рублей при курсе 24 р. за 1 доллар. Однако уже к первой выплате курс доллара к рублю изменился с 24 до 32 р. за доллар. Выиграл или проиграл Игорь Владимирович от того, что взял кредит в долларах, а не в рублях, если курс доллара в дальнейшем не понижался?

[7—9 классы. Ипотечный кредит. Вычисления]

Решение.

1) 24  900 = 21600 (р.) — размер ежемесячного платежа при курсе 24 рубля за 1 доллар.

2) 32  900 = 28800 (р.) — размер ежемесячного платежа при курсе 32 рубля за 1 доллар.

3) 28800  26000 = 2800 (р.) — разность между ежемесячными платежами по валютному и рублевому кредитам.

Ответ: Игорь Владимирович проиграл, выбрав валютный кредит, потому что теперь он должен выплачивать в долларах на 2800 р. больше, чем по кредиту в рублях. Более того, при росте курса доллара к рублю его проигрыш бы увеличивался.

15. Микрокредитная организация «Все и сразу» предлагает кредит на месяц с условием возврата на 10% большей суммы, чем была выдана. При этом за каждый день задержки выплаты начисляется пеня в 2% от выданной суммы. Николай Иванович взял на этих условиях в кредит некоторую сумму денег для покупки смартфона, но из-за задержки зарплаты просрочил погашение кредита на 30 дней. Отдать ему пришлось 34 000 р. Какую сумму взял Николай Иванович в кредит? Сколько денег сэкономил бы Николай Иванович, отложив покупку смартфона на 2 месяца?

[7 класс, Кредит, линейное уравнение: 1,7х = 34 000, х = 20 000 р.]

16. По условиям кредита через каждый год долг увеличивается на некоторый процент, затем заёмщик вносит в банк некоторую сумму, уменьшая свой долг. Чему равен годовой процент, если кредит в 1 100 000 р. выплатили за два года равными платежами по 720 000 р.?

[8 класс. Банковский кредит. Квадратное уравнение.]

Решение. 1) Пусть x = 1 + 0,01t, где t% – годовой процент по кредиту. Тогда

Поскольку x 0, x = Ответ: 20%.

17. Вкладчик положил в банк 1 млн. р. За первый год ему начислили определенный процент годовых, а на второй год банковская процентная ставка была увеличена на 4%. На конец второго года на счете стало 1 380 225 р. Сколько процентов по вкладу банк начислил за первый год?

[8 класс. Банковский вклад. Квадратное уравнение.]

18. Иван Иванович взял в банке 1 млн р. в кредит. Схема выплаты кредита следующая: в конце года банк начисляет проценты на сумму долга, а затем заемщик вносит в банк 660 000 р. В конце второго года банк опять начисляет те же проценты по кредиту, а Иван Иванович погашает свой кредит, внося в банк 484 000 р. Сколько процентов по кредиту начислял банк каждый год?

[8 класс, банковский кредит, квадратное уравнение:

(1 000 000х – 660 000)х – 484 000 = 0]

19. В магазине одежды проводилась распродажа. Костюмы продавались со скидкой 20%, плащи – со скидкой 40%. Покупатель купил костюм и плащ за 9180 р., заплатив на 32% меньше их суммарной первоначальной цены. Найдите первоначальные цены костюма и плаща.

[7 класс, задача на стоимость, система линейных уравнений:

20. В магазин поступают мебельные гарнитуры с двух фабрик. С фабрики А доставляют гарнитуры «Жилая комната», причем доставка одного гарнитура обходится в 1000 р. С фабрики В доставляют гарнитуры «Спальня», доставка каждого из которых обходится в 700 р. В неделю по плану магазин должен получить 72 гарнитура, израсходовав на их доставку не более 60 000 р. Сколько гарнитуров каждого вида может быть доставлено в магазин за одну неделю?

[9 класс, стоимость, линейное неравенство 1000a + (72 – a)  700  60 000.]

21. Два завода выпускают одинаковую продукцию. На первом заводе, если рабочие трудятся суммарно t² часов, то они выпускают 5t единиц товара, а на втором заводе за это же суммарное время – 2t единиц. За каждый час рабочий и первого, и второго завода получают 200 р. Какая наименьшая сумма понадобится на оплату труда рабочих при выпуске 580 единиц товара?

[9 класс, задача на оптимизацию, нахождение наименьшего значения квадратичной функции: y = x² + 0,25(580 – 5x)² или y = .]

22. Колины родители взяли ипотечный кредит К рублей под 10% годовых на 10 лет с условием выплаты его равными суммами (кроме, быть может, последней). Какую сумму ежегодно должна вносить в банк Колина семья?

[9 класс, формула кредита, сумма членов геометрической прогрессии:

К  1,1¹⁰ – s(1,1^10–1 + 1,1^10–2 + … + 1,1^10–9 + 1.]

23. Наиболее экономичная скорость судна v выражается по формуле 2kv³ = p, где k – коэффициент пропорциональности, а p – стоимость 1 км пути. Выразите скорость судна из формулы.

[9 класс, формула стоимости движения судна, кубические корни: ]

24. Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчиков. Сведения о кандидатах представлены в таблице.

Номер переводчика	Язык	Стоимость услуг (руб. в день)
1	Немецкий, испанский	7000
2	Английский, немецкий	6000
3	Английский	3000
4	Английский, французский	6000
5	Французский	2000
6	Испанский	4000

Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой переводчики вместе владеют четырьмя иностранными языками: английским, немецким, французским и испанским, а суммарная стоимость их услуг не превышает 12 000 р. в день.

В ответе укажите какой-нибудь один набор номеров переводчиков без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

[7—9 классы (повторение), ЕГЭ базовый уровень, № 12; оптимальный выбор, вычисления, ответы: 135; 153; 315; 351; 513; 531; 256; 265; 526; 562; 625; 652]

25. 15 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;

• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

• 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн р.)	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

[7—9 классы (повторение), ЕГЭ, профильный уровень, № 17; оптимальный выбор]

Решение. По условию, долг перед банком (в млн. р.) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом: 1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

Пусть k = 1 + 0,01r, тогда долг на 1-е число каждого месяца равен:

k; 0,6k; 0,4k; 0,3k; 0,2k; 0,1k.

Следовательно, выплаты со 2-го по 14-ое число каждого месяца составляют:

k – 0,6; 0,6k – 0,4; 0,4k – 0,3; 0,3k – 0,2; 0,2k – 0,1; 0,1k.

Общая сумма выплат составляет:

k(1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) – (0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) =

(k – 1)(1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) + 1 = 2,6(k – 1) + 1.

По условию общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн р., причем,

2,6(k – 1) + 1

Наибольшее целое решение этого неравенства – число 7. Значит, искомое число 7%.

Ответ: 7%.

26. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Какую сумму хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров?

[9 класс. Оплата труда. Сумма арифметической прогрессии]

Решение. Стоимость работы можно вычислить с помощью формулы суммы арифметической прогрессии:

,

где – стоимость колодца глубиной метров, – стоимость первого метра, – прирост стоимости каждого следующего метра. Подставляем данные:

(р.).

Ответ: 89 100 рублей.

27. Ровно через год после поступления холодильника в продажу магазин снижает его цену на определенное количество процентов. Еще через год цена снова снижается на такое же количество процентов относительно предыдущей цены. На сколько процентов каждый год уменьшалась цена, если холодильник, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рубля?

[8 класс. Снижение цены товара. Квадратное уравнение.]

Решение. Запишем уравнение , где – ежегодная уценка в процентах. Решая уравнение, получаем x = 11.

Ответ: .

Комментарий. Если зайти на какой-нибудь интернет-агрегатор продаж (например, Яндекс-маркет), можно увидеть подробный отчет об изменении средней цены любого товара с момента появления его в продаже. Особенно велико падение цен у мобильных телефонов, компьютеров и другой техники, которая быстро совершенствуется. Расчет, сделанный в этой задаче, позволяет прикинуть скорость уценки. Уценка около 10% для сложной бытовой техники – обычная для стабильной ценовой ситуации. Если же наблюдается обесценивание денег, то все цены растут. В этом случае можно увидеть, что на ряд товаров цены растут медленнее, чем на товары повседневного спроса.