Дифференциальные уравнения

Доклад на тему:

«Дифференциальные уравнения»

Студентки группы Д-21

Малороевой Хавы

Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Основные понятия и термины по теме: дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):

1. Дифференциальные уравнения, основные понятия.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения.

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

4. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Краткое изложение теоретических вопросов:

Дифференциальное уравнение — уравнение, в которое входят производные функции, и может входить сама функция, независимая переменная и параметры.

Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен).

Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной.

Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,   f ′ (x) = f (f (x)) не является дифференциальным уравнением.

В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.

Порядок дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него интегралов.

Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения. Так, например, уравнение ( y ″ ) 4 + y ′ + y 6 + x 7 = 0 {\displaystyle (y'')^{4}+y'+y^{6}+x^{7}=0} может быть уравнением второго порядка, четвёртой степени.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y ′ ( x ) , y ″ ( x ) , . . . , y ( n ) ( x ) {\displaystyle y'(x),y''(x),...,y^{(n)}(x)} y’(x), y”(x), y”’(x), …. yⁿ(x), до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению.

Другими словами: решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифференциальные уравнения в частных производных и так далее.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными – это уравнения вида: f(x)dx = f(y)dy.

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала  перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Пример 2. xdy = ydx

Дифференциалы dy и dx – это полноправные множители.

В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

x/dx  y/dy

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения.

Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

x/dxy/dy

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные

(Таблица интегралов):

Ln|y|ln|x|C

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу C достаточно записать один раз (ибо сумма двух констант – есть константа). В большинстве случаев её помещают в правую часть.

Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Эти уравнения широко используются на практике, поэтому их решение имеет первоочередное значение. В данном случае речь идет не об однородных функциях, а о том, что в правой части уравнения стоит 0. В следующем разделе будет показано, как решаются соответствующие неоднородные дифференциальные уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  имеют вид: y''+py'+qy=0, p,q∈R.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k²+pk+q=0, заменив y' на k.

Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:

• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k₁≠k₂, k₁, k₂∈R;

• действительные и совпадающие k₁=k₂=k, k∈R;

• комплексно сопряженные k₁=α+i*β, k₂=α−i*β.

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

• y=C₁e^k₁^x+C₂e^k₂^x;

• y=C₁e^kx+C₂xe^kx;

• y=e^a⋅x⋅(C₁cos βx+C₂sin βx).

Пример 1

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y''+3y'=0.

Найдем корни характеристического уравнения k²+3k=0.

k(k+3) = 0.

Это действительные и различные k₁ =−3 и k₂=0.

Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y= C₁e^k₁^x+C₂e^k₂^x ⇔y=C₁e^−3x+C₂e^0x⇔y=C₁e^−3x+C₂