СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ, РОДСТВЕННЫЕ ДВОИЧНОЙ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
- восьмеричная система счисления
- двоичная триада
- шестнадцатеричная система счисления
- двоичная тетрада
СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ 8
Основание: 8
Алфавит: 0, 1, …, 7
Базис: 1 , 8, 8 2 , 8 3 , …
Название: восьмеричная
Восьмеричная – восемь единиц одного разряда составляют одну единицу старшего разряда.
Позиционная – одна и та же цифра получает разные количественные значения в зависимости от позиции, которую она занимает в записи числа.
ПЕРЕВОД А 8 А 10
Используйте веса восьмеричных разрядов при переводе восьмеричных чисел в десятичную систему счисления!
2·512 + 7·64 + 1·8 +1 = 1489
ПЕРЕВОД ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА В ВОСЬМЕРИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ
- последовательно выполняйте деление исходного десятичного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получится частное, равное нулю
- образуйте запись исходного десятичного числа в восьмеричной системе счисления, выписав поочередно все полученные остатки, начиная с последнего
ДЕЛЕНИЕ НА 8
8
103
8
1
8
2
23
8
1
8
16
4
0
0
7
1
103 10 = 147 8
НЕМНОГО ИСТОРИИ
Шведский король Карл XII интересовался разными аспектами военного дела, в том числе математическими. В 1716 году он предложил перейти на новую восьмеричную систему счисления, которую находил более подходящей в военном ремесле. Вскоре после этого на Карла XII было совершено покушение, и он погиб.
ВОСЬМЕРИЧНЫЕ ЦИФРЫ В ДВОИЧНОМ КОДЕ – ДВОИЧНЫЕ ТРИАДЫ
4 100
0 000
5 101
1 001
6 110
2 010
7 111
3 011
ПЕРЕВОД ВОСЬМЕРИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНЫЕ
0 000
1 001
2 010
426 8
3 011
4 100
110
010
100
5 101
6 110
7 111
426 8 =100010110 2
ПЕРЕВОД ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ВОСЬМЕРИЧНЫЕ
0 000
1 001
2 010
1101011110101 2
3 011
4 100
1
6
5
5
3
5 101
6 110
7 111
1101011110101 2 = 15365 8
СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ 16
Основание: 16
Алфавит: 0, 1, …, 9, А, В, С, D, E, F
Базис: 1 , 16, 16 2 , 16 3 , …
Название: шестнадцатеричная
Шестнадцатеричная – шестнадцать единиц одного разряда составляют одну единицу старшего разряда.
Позиционная – одна и та же цифра получает разные количественные значения в зависимости от позиции, которую она занимает в записи числа.
ПЕРЕВОД А 16 А 10
Используйте веса шестнадцатеричных разрядов при переводе шестнадцатеричных чисел в десятичную систему счисления!
ПЕРЕВОД ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ
- последовательно выполняйте деление исходного десятичного числа и получаемых целых частных на 16 до тех пор, пока не получится частное, равное нулю
- образуйте запись исходного десятичного числа в шестнадцатеричной системе счисления, выписав поочередно все полученные остатки, начиная с последнего
ДЕЛЕНИЕ НА 16
16
635
48
9
3
16
155
32
16
2
144
7
0
0
11
2
635 10 = 27В 16
ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫЕ ЦИФРЫ В ДВОИЧНОМ КОДЕ – ДВОИЧНЫЕ ТЕТРАДЫ
8 1000
0 0000
9 1001
1 0001
A(10) 1010
2 0010
3 0011
B(11) 1011
4 0100
C(12) 1100
D(13) 1101
5 0101
6 0110
E(14) 1110
7 0111
F(15) 1111
ПЕРЕВОД ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНЫЕ
8С6 16
0110
1100
1000
8С6 16 =100011000110 2
ПЕРЕВОД ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫЕ
1101011110101 2
1
F
5
A
1101011110101 2 = 1AF5 16
10
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО
?
А 8
А 16
А 2
А 8
А 16
71063 8 = 111.001.000.110.011 2 = 111.0010.0011.0011 2 = 7233 16
А319 16 = 1010.0011.0001.1001 2 = 1.010.001.100.011.001 2 = 121431 8
Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Шестнадцатеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 16. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15).
Для перевода восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.
Для переводов чисел между восьмеричной и двоичной, шестнадцатеричной и двоичной системами счисления используется замена восьмеричных цифр на двоичные триады и шестнадцатеричных цифр на двоичные тетрады.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:
а) 55
б) 600
в) 2022
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Переведите целые числа из восьмеричной системы счисления в двоичную:
а) 65 8
б) 123 8
в) 1756 8
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Переведите целые числа из двоичной системы счисления в восьмеричную:
а) 11011011 2
б) 11101110111 2
в) 11001100110011 2
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:
а) 55
б) 600
в) 2022
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Переведите целые числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:
а) А5 16
б) 1С3 16
в) 9А5Е 16
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Переведите целые числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:
а) 11011011 2
б) 11101110111 2
в) 11001100110011 2
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Придумайте способ быстрого перевода целого числа из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную. Переведите с его помощью числа:
а) А5 16
б) 1С3 16
в) 9А5Е 16
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Заполните в тетради таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.
Основание 2
Основание 8
101010
Основание 10
Основание 16
127
321
2А
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Сравните двоичные числа x и y :
а) x = 1010101111010111, y = 101010111010111
б) x = 10101011010101101, y = 10101101010101101
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите наименьшее и запишите его в десятичной системе счисления: 36 16 , 648, 111010 2 .
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите наибольшее и запишите его в десятичной системе счисления: 36 16 , 64 8 , 111010 2 .
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Вычислите выражения:
а) (1111101 2 + AF 16 ) : 36 8
б) 125 8 + 101 2 · 2A1 6 – 141 8
Ответ дайте в десятичной системе счисления.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Почему восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления считаются системами, родственными двоичной? Какая ещё позиционная система счисления может считаться родственной двоичной?
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Вы умеете переводить целые числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Попробуйте сформулировать правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q . Проверьте справедливость сформулированного правила, осуществив с его помощью перевод числа 555 в систему счисления с основанием 5.
А 2
А 2
А 8
ДЕЛЕНИЕ НА ОСНОВАНИЕ
РАЗВЁРНУТАЯ ФОРМА ЗАПИСИ
А 8
А 10
А 16
А 16
А 2
А 8
А 16
