ПЕРЕВОДЫ ЧИСЕЛ в СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
Автор: Пенегина Светлана Борисовна
учитель информатики МАОУ СОШ №11
Г.Березники Пермского края
Понятие систем счисления
Система счисления – это совокупность приемов и правил для записи чисел с помощью определенного количества символов (цифр)
Позиционные системы счисления
значение цифры зависит от ее положения в числе.
Каждая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание системы равно количеству цифр, используемых для записи чисел и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов.
Система счисления
Десятичная
Основание
Алфавит цифр
10
Двоичная
Восьмиричная
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2
Шестнадцатиричная
0, 1
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F
Перевод целого числа из 10-ой СС в любую другую
Например: Переведем в 2-ую СС
– основание =2
73 2
- 36
1
- Для перевода целого числа из 10-ой СС в любую другую исходное число делят на основание новой системы до получения целого остатка, меньше основания.
2
36 18 2
0 18 9 2
0 8 4 2
1 4 2 2
0 2 1
0
- Полученное частное снова делят на основание новой системы до получения целого остатка, меньше основания.
- И т.д. до тех пор, пока последнее частное не будет меньше основания.
Ответ:
73 10 =1001001 2
- Результат записывают из остатков, в порядке, обратном их получению, причем начинают с последнего частного.
Переведем число 93 10 в 8-ую и 16-ую СС
93 8 93 16
88 11 8 80 5
5 8 1 13 (D)
3 Ответ: 93 10 =135 8 Ответ: 93 10 =5D 16
Практическое задание :
Перевести из 10-ой СС число 115 10 в 2-ую, 8-ую и 16-ую СС
Перевод в 8-ую СС:
Перевод в 2-ую СС:
115 2
- 57 2
1 56 28 2
1 28 14 2
0 14 7 2
0 6 3 2
1 2 1
1
Ответ: 115 10 = 1110011 2
115 8
112 14 8
3 8 1
6
Ответ: 115 10 = 163 8
Перевод в 16-ую СС:
115 16
112 7
3
Ответ: 115 10 = 73 16
Перевод правильной дроби из 10-ой СС в любую другую
Например : Переведем число 0,1875 10 в 2-уюСС
Для перевода правильной дроби исходное число умножают на основание новой системы счисления, причем умножению подвергаются только дробные часть.
0 , 1875
Х 2
0 , 3750
Х 2
0 , 7500
Х 2
1 , 5000
Х 2
1 , 0000
Результат записывается из целых частей в порядке их получения.
(Умножение выполняется столько раз, сколько знаков после запятой необходимо получить в новом числе .)
Ответ: 0,1875 10 = 0,0011 2
Выполним перевод того же числа в 8-ую и 16-ую СС
0 , 1875 0,1875
Х 8 х 16
1 , 5000 3,0000
Х 8
4 , 0000
Ответ: 0,1875 10 =0,14 8 Ответ: 0,1875 10 =0,3 16
Практическое задание :
Перевести из 10-ой СС число 0,716 10 в 2-ую, 8-ую и 16-ую СС
(до 3-х знаков после запятой)
Перевод в 2-ую СС
Перевод в 8-ую СС
Перевод в 16-ую СС
0 , 716
0 , 716
0 , 716
Х 16
Х 2
Х 8
1 , 432
(В) 11 , 456
5 , 728
Х 8
Х 2
Х 16
5 , 824
0 , 864
7 , 296
Х 2
Х 8
Х 16
4 , 736
6 , 592
1 , 728
Ответ: 0,716 10 = 0,101 2
Ответ: 0,716 10 = 0,В74 16
Ответ: 0,716 10 = 0,556 8
Перевод смешанного числа из 10-ой СС в любую другую
Если число смешанное, то отдельно переводится его целая часть путем последовательного деления на основание новой системы, отдельно – дробная часть путем умножения на основание новой системы, а затем оба результата записываются вместе через запятую.
Рассмотрим перевод числа 93,716 10 в 8-ую систему счисления:
0 , 716
Х 8
5 , 728
Х 8
5 , 824
Х 8
6 , 592
93 8
88 11 8
5 8 1
3
Ответ: 93,716 10 = 135,556 8
Практическое задание :
Перевести из 10-ой СС число 105,48 10 в 2-ую, 8-ую и 16-ую СС
(до 3-х знаков после запятой)
Перевод в 16-ую СС
Перевод в 8-ую СС
Перевод в 2-ую СС
105 2
104 52 2
1 52 26 2
0 26 13 2
0 12 6 2
1 6 3 2
0 2 1
1
0 , 48
0 , 48
0 , 48
Х 16
Х 2
Х 8
7 , 68
0 , 96
3 , 84
Х 2
Х 16
Х 8
(А)10 , 88
1 , 92
6 , 72
Х 8
Х 16
Х 2
(Е)14 , 08
1 , 84
5 , 76
105 8
104 13 8
1 8 1
5
105 16
96 6
9
Ответ: 105,48 10 = 151,365 8
Ответ: 105,48 10 = 1101001,011 2
Ответ: 105,48 10 =69,7АЕ 16
Перевод чисел из любой системы счисления в 10-ую СС
Для перевода числа из любой системы счисления в 10-ую СС необходимо разложить число по разрядам (представить число в развернутой форме) и выполнить вычисления.
Выполним перевод чисел в 10-ую СС :
1101011,101 2 = 1*2 6 + 1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 + 1*2 -1 + 0*2 -2 + 1*2 -3
= 64 + 32 + 8 + 2 + 1 + 1/ 2 + 1/8 = 107,325 10
1507,34 8 = 1*8 3 + 5*8 2 + 0*8 1 + 7*8 0 + 3*8 -1 + 4*8 -2 = 512 + 320 + 7 + 3/8 + 4/64 =
= 839 + 0,375 + 0,063 = 839,438 10
2С6,F8 16 =2*16 2 + C*16 1 + 6*16 0 + F*16 -1 + 8*16 -2 = 2*16 2 + 12*16 1 + 6*16 0 +
+15*16 -1 + 8*16 -2 = 512 + 192 + 6 + 15/16 + 8/256 = 710 + 0,938 + 0,031 =
=710,969 10
Практическое задание :
Перевести в 10-ую СС числа: 100111,011 2 ; 634,26 8 ; 41D,8А 16 .
100111,011 2 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 + 0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3 =
= 32 + 4 + 2 + 1 + 1/ 4 + 1/8 = 39,375 10
634,26 8 = 6*8 2 + 3*8 1 + 4*8 0 + 2*8 -1 + 6*8 -2 = 384 + 24 + 4 + 2/8 + 6/64 =
= 412 + 0,25 + 0,094 = 412,344 10
41D,8А 16 =4*16 2 + 1*16 1 + D*16 0 + 8*16 -1 + 8*16 -2 = 4*16 2 +1*16 1 +13*16 0 +
+8*16 -1 +10*16 -2 = 1024 + 16 + 13 + 8/16 + 10/256 =
=1053 + 0,5 + 0,039 = 1053,539 10
Перевод чисел из 2-ой СС в 8-ую СС и обратно
Перевод из 2-ой СС в 8-ую СС:
Исходное число разбиваем на триады (группы из 3 цифр) влево и вправо от запятой. Если последняя триада неполная, то дополняем ее нулем справа. Каждую триаду заменяем соответствующей восьмиричной цифрой
2-ая СС
000
8-ая СС
001
0
1
010
011
2
100
3
101
4
110
5
111
6
7
323,54 8
Пример: 11010011,1011 2 = 11 010 011, 101 100 =
Перевод из 8-ой СС в 2-ую СС:
Каждую цифру исходного числа заменяем соответствующей двоичной триадой.
Пример: 257,41 8 = 010 101 111 , 100 001 = 10101111,100001 2
2 5 7 4 1
Практическое задание :
Перевести: числа 10101001,0111 2 и 1101000,001 2 - в 8-ую СС;
числа 631,25 8 и 503,17 8 - в 2-ую СС.
- 10101001,0111 2 = 10 101 001 , 011 1 00 = 251,34 8
- 1101000,001 2 = 1 101 000 , 001 = 150,1 8
- 631,25 8 = 110 011 001 , 010 101 = 110011001,010101 2
6 3 1 2 5
- 503,17 8 = 101 000 011 , 001 111 = 101000011,001111 2
5 0 3 1 7
Перевод чисел из 2-ой СС в 16-ую СС и обратно
Перевод из 2-ой СС в 16-ую СС:
Исходное число разбиваем на тэтрады (группы из 4 цифр) влево и вправо от запятой. Если последняя тэтрада неполная, то дополняем ее нулями справа. Каждую тэтраду заменяем соответствующей шестнадцатиричной цифрой (используем таблицу) .
Пример: 11010011,10101 2 = 1101 0011 , 1010 1 000 = D3,А8 16
2-ая
0000
16-ая
0001
0
0010
1
0011
2
0100
3
0101
4
0110
5
6
0111
7
1000
1001
8
1010
9
1011
А
В
1100
С
1101
1110
D
1111
Е
F
Перевод из 16-ой СС в 2-ую СС:
Каждую цифру исходного числа заменяем соответствующей двоичной тэтрадой.
Пример: В57,4С 8 = 1011 0101 0111 , 0100 1100 =
=101101010111,010011 2
В 5 7 4 С
Практическое задание :
Перевести: числа 10101001,01001 2 и 11010100,001 2 - в 16-ую СС;
числа 6Е1,2F 16 и A03,19 16 - в 2-ую СС.
- 10101001,01001 2 = 1010 1001 , 0100 1000 = А9,48 16
- 11010100,001 2 = 1101 0100 , 0010 = D4,2 16
- 6Е1,2F 16 = 0110 1110 0001 , 0010 1111 = 11011100001,00101111 2
6 E 1 2 F
- A03,19 16 = 1010 0000 0011 , 0001 1001 = 101000000011,00011001 2
A 0 3 1 9
Перевод чисел из 8-ой СС в 16-ую СС и обратно
Перевод из 8-ой СС в 16-ую СС:
Каждую цифру восьмиричного числа заменить двоичной триадой (перевод из 8-ой в 2-ую СС). Полученное число разбить на тэтрады. Каждую тэтраду заменить соответствующей шестнадцатиричной цифрой (перевод из 2-ой в 16-ую СС).
326,05 8 =
2-ая СС
8-ая СС
0 000
16-аяСС
0
0 001
0
0 010
1
2
0 011
1
3
0 100
2
3
4
0 101
4
5
0 110
5
0 111
6
6
7
1000
7
1001
1010
8
9
1011
1100
А
1101
В
1110
С
D
1111
E
F
11 010 110 , 000 101
= 1101 0110 , 0001 0100
= D6,14 16
3 2 6 0 5
Перевод из 16-ой СС в 8-ую СС
Каждую цифру шестнадцатиричного числа заменить двоичной тэтрадой (перевод из 16-ой в 2-ую СС). Полученное число разбить на триады. Каждую триаду заменить соответствующей восьмиричной цифрой (перевод из 2-ой в 8-ую СС)
С1,72 16 =
= 301,344 8
= 11 000 001, 011 100 100
1100 0001 , 0111 0010
С 1 7 2
Практическое задание :
Перевести: числа 541,03 8 и 276,15 8 - в 16-ую СС;
числа 6Е5,2В 16 и 3A0,51 16 - в 8-ую СС.
- 541,03 8 = 101 100 001 , 000 011 = 1 0110 0001 , 0000 1100 = 161,0С 16
2) 276,15 8 = 10 111 110 , 001 101 = 1011 1110 , 0011 0100 = ВЕ,34 16
3) 6Е5,2В 16 = 110 1110 0101 , 0010 1011 = 11 011 100 101 , 001 010 110 = 3345,126 8
4) 3А0,51 16 = 11 1010 0000 , 0101 0001 = 1 110 100 000 , 010 100 010 = 1640,242 8
5 4 1 0 3
2 7 6 1 5
6 Е 5 2 В
3 А 0 5 1
Проверочная работа №1
- Выполнить перевод числа из 10-ой СС в 2-ую, 8-ую и 16-ую СС
а) 137,57 10 (до 2-х знаков после запятой);
б) 99,26 10 (до 3-х знаков после запятой);
в) 121,95 10 (до 2-х знаков после запятой).
2) Выполнить перевод чисел в 10-ую СС:
а) 1101101,1101 2 ; 2631,46 8 ; 6В4,С5 16 ;
б) 1011101,111 2 ; 773,204 8 ; 2А5,94 16 ;
в) 1110011,0111 2 ; 3025,024 8 ; D43,Е2 16 .
Проверочная работа №2
1) Выполнить перевод чисел в 2-ую СС:
а) 34,2 8 ; 9А,7 16 .
б) 526,225 8 ; Е3,69 16 ;
в) 4221,5043 8 ; 5В,3D2 16 .
2) Выполнить перевод чисел в 8-ую СС:
а) 111011,101 2 ; 7F,В 16 ;
б) 10101000,11010 2 ; 451,89 16 ;
в) 100010110,11011 2 ; 79А,С4 16 .
3) Выполнить перевод чисел в 16-ую СС:
а) 101000,011 2 ; 40,71 8 ;
б) 110111011,11001 2 ; 323,054 8 ;
в) 100100110,011101 2 ; 602,317 8 .
