Спортивно-оздоровительная программа

Тема :Величины и их измерение.

Понятие положительной скалярной величины и ее измерения.

В начальном курсе математики учащиеся знакомятся с разными величинами: длиной, площадью, вместимостью, массой предметов, временем, количеством. Изучая эти величины, школьники должны понять, что общего имеют данные величины, в чем их различие, что представляет собой процесс измерения величины. Но для этого сам учитель должен уметь ответить на эти вопросы.

Понятие величины всеобъемлющее, сложное. В данном курсе будем рассматривать величину как свойство объектов (процессов, явлений), которое проявляется при их сравнении по этому свойству, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения.

Величины, которые выражают одно и то же свойство объектов, называются величинами одного рода, или однородными величинами. Например, длина стола и длина комнаты - это величины одного рода.

Однородные величины сравнивают, выполняют с ними действия, измеряют. Уточним эти понятия, используя язык математики.

1.Для величин одного рода имеют место отношения «равно», «мень­ше» и «больше», и для любых величин А и В справедливо од­но и только одно из отношений: А

А В. Эти отношения на множестве однородных величин транзитивны.

Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямо­угольного треугольника больше, чем длина любого катета этого треугольника, масса яблока меньше массы арбуза, а длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2. Для любых двух величин А и В однозначно определяется вели­чина С = А + В, которую называют суммой величин А и В. Иначе говоря, величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода.

Сложение величин коммутативно и ассоциативно.

Например, если А - масса арбуза, а В - масса дыни, то С = А +В - это масса арбуза и дыни. Очевидно, что А+В = В+А и (А+В) + С = А+(В+С).

3.Разностью величин А и В называется такая величина С = А - В, что А = В + С.

Разность величин A и B существует тогда и только тогда, когда AB.

Величины одного рода можно вычитать, получая в ре­зультате величину того же рода. Определяют вычитание через сложение.

Например, если A – масса купленных овощей (лука и моркови), а B – масса купленной моркови, то C = A – B – это масса купленного лука.

4.Для любой величины А и любого положительно­го числа х существует единственная величи­на В = x ∙ А, которую называют произведением величины А и числа x.

Иными словами, величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода.

Например, если А - время, отводимое на один урок, то ум­ножив А на число 3, получим величину В = 3 · А - время, за которое пройдут 3 урока.

5.Частным величин А и B одного рода называется такое положительное действительное число х = А : В, что А = х ·В.

Иными словами, величины одного рода можно делить, получая в результате число. Определяют деление однородных величин через умножение величины на число.

Так, если А - длина отрезка a, B - длина отрезка b и
отрезок a состоит из 4-х отрезков, равных b, то А:В = 4, поскольку

А = 4 ·В.

6.Величины измеряют: если задана величина А и выбрана единица величины Е (того же рода), то измерить величину А - это значит найти такое положительное действительное число х, что А= х ∙Е.

Число х называется численным значением величины А при единице величины E, или мерой величины А при единице величины Е.

Например, если А - длина отрезка а, Е- длина отрезка b,то А = 4-Е. Число 4 - это численное значение длины при единице длины Е, или, другими словами, число 4- мера длины А при единице длины Е.

В практической деятельности при измерении величин люди пользуются стандартными единицами величин: так, длину измеряют в метрах, сантиметрах и т.д. Результат измерения записывают в таком виде: 2,7 кг; 13 см; 16с. Исходя из понятия измерения, данного выше, эти записи можно рассматривать как произведение числа и единицы величины. Например, 2,7кг = 2,7∙кг; 13 см = 13∙см; 16 с = 16∙с.

Используя это представление, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например,

требуется выразить 5 ч в минутах. Так как 5 ч = 5 ∙ ч и 1 час=60мин, то 5 · ч= 5 ∙ 60 ∙ мин = (5 ∙ 60)мин = 300 мин

Измерение величин позволяет переходить от сравнения ве­личин к сравнению чисел, от действий с величинами - к соот­ветствующим действиям с их численными значениями, и наоборот.

Рассмотрим примеры:

а)если А =5 кг, В= 3кг, то можно утверждать, что А В, поскольку 5 3;

б)если А = 5 кг, В =3 кг, то А + В = 5 кг + 3 кг = (5 + 3) кг = 8 кг;

в)если А = 5 кг, а масса В в 2 раза больше массы А, то И = 2А = 2 · (5 · кг) = (2 · 5) кг = 10 кг. В данной ситуации возможна и такая запись: В = А · 2 = (5 · кг) · 2 = (5 · 2) · кг = 10 кг.

Величину, которая определяется только одним численным значе­нием, называется скалярной величиной. Если при выбранной единице измерения скалярная вели­чина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной.

Длина, площадь, объем, масса, время, стоимость, количество – положительные скалярные величины.

Рассмотренные понятия - объект (предмет, явление, про­цесс), еговеличина, численное значение величины, единица величины - надо уметь вычленять в текстах и задачах. Напри­мер, математическое содержание, предложения «Купили 3 кило­грамма яблок» можно описать следующим образом: в предло­жении рассматривается такой объект, как яблоко, и его величина - масса; для измерения массы использовали единицу массы - килограмм; в результате измерения получили число 3 - числен­ное значение массы яблок при единице массы килограмм.

Один и тот же объект может обладать несколькими свой­ствами, которые являются величинами. Например, для чело­века это рост, масса, возраст. Процесс равномерного прямолинейного движения характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем, между которыми существуют зависи­мость, выражаемая формулой s = v∙ t.

Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода, или разнородными величина­ми. Так, например, длина и масса - это разнородные величины.

Практические задания.

1. О каких величинах идет речь в следующих предложениях:

а) Груши дороже яблок.

б) Книга тяжелее тетради.

в) Таня выше Светы.

2. Какие величины могут характеризовать следующие объекты:

а) карандаш; б) человек; в) озеро?

3. Разбейте на классы тремя способами следующие величины (в каждом случае укажите основание для классификации:

А – высота дерева; В – 16кг; С – масса доски; D – 25 см; E – возраст дерева; M – площадь доски; H – 13 с; K – 26 м; L – длина веревки; Р – толщина доски. 

4. Какие из данных величин можно сравнить между собой:

1500 м; 2,5 км; 18 штук; 8 десятков;

3 ц; 1 км 500 м; 299 кг; 18 пар.

5. Сравните величины:

56 мин и 7/10 ч;

3/50 м и 4/5 дм;

1,5 см и 3/20 дм;

5/4 кг и 1250 г.

6. Назовите объект, его величину, численное значение и единицу измерения величины в каждом из следующих пред­ложений:

а) В коробке 8 кг яблок.

б) Глубина оврага 2 м.

в) Площадка садового участка 6 соток.

г) В сервизе 6 тарелок.

д) Рост девочки 1 м 20 см.